1 . 几何探究
【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请帮助小新完成下列问题：
①求证；
②连接，则之间的数量关系是____________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．

2 . 如图1，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究：

(1)      ，     ；
(2)当时，求出、的值；
(3)如图当垂直时，
①猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
②求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

3 . 在中，，是斜边上一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，．

(1)如图，求证：是的中点；
(2)已知点和边上的点满足，连接，，．
（）如图，求证：四边形是菱形．
（）如图，连接，若，，求值．

4 . 综合与实践
【素材呈现】在数学活动课上，老师给出如下信息：如图1，在四边形中，，E 是边上一点，于点F，．
【独立思考】（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
【实践探究】（2）希望小组受此问题的启发提出新的问题：如图2，在正方形中，E 是边上一点， 于点F，交的延长线于点H，交的延长线于点G，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（3）智慧小组讨论交流后又发现新的探究点：如图3，在正方形中，E 是边上一点，交的延长线于点 H，在上截取线段，连接．若，请直接写出线段的长．

5 . 【综合与实践】
【问题背景】
如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．
如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．

【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：

记录时间
流水时间	0	10	20	30	40
水面高度	30	29	28.1	27	25.8

【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
(1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
(2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？
(3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值；

6 . 问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，上，，于点．

   

（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：
（3）如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长．

7 . 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为______．

   

8 . 【探究题】在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．

   

(1)观察证明．
如图1，当时，猜想的值为________，并说明理由．
(2)类比猜想
如图2，当时，请求出的值．
(3)解决问题
当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

9 . 如图，正方形的边长为a，点E、F分别在、上，且，与相交于点G，连接，则的最小值为_____．

10 . 问题提出：
（1）如图1，在正方形中，E，F分别为边，上的点，，连接，试说明线段和之间的数量关系．
小明是这样思考的：将绕点A按顺时针方向旋转得到（如图2），此时即是，直接写出线段和之间的数量关系：____________________．
问题探究：
（2）如图3，在直角梯形中，（），，E是边上的一点．若，求的长．
问题解决：
（3）某小区想在一块不规则的空地上修建一个花园，根据设计要求，花园由一个三角形和一个正方形组成，如图4所示，已知，以为边作正方形，现要在花园里修建一条小路，为了满足观赏需求，小路要尽可能长，求出此时的度数及小路的最大值．