1 . 如图，
，
与
相交于点E，
．
(2)如图2，过点B作
交
的延长线于点F，若
；
①求证：
是等边三角形；
②如果G、H分别是线段、线段
上的动点，当
的值最小时，写出此时
与
的数量关系，并说明理由．
，与相交于点E，．
(2)如图2，过点B作
交的延长线于点F，若；①求证：
是等边三角形；②如果G、H分别是线段
、线段上的动点，当的值最小时，写出此时与的数量关系，并说明理由．
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2 . 如图，点
为正方形
的对称中心，点
为
边上的动点，连接
，作
交
于点
，连接
，
为的中点，
为边上一点，且
，连接
，
，则
的最小值为____________ ．
为正方形的对称中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为
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名校
3 . 操作初探：
（1）如图1，将正方形纸片对折，使与
重合，展平纸片，得到折痕；再对折，使
与重合，得到折痕
，展平纸片，连接
，与交于点，连接
，
．则
的值为________；
猜想证明：
（2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；点
在边上，连接
，与交于点，连接
，将绕点逆时针旋转，使点
的对应点'落在对角线
上，连接
．当点在边上运动时（点不与，
重合），试判断
的形状，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长
交于点
，连接，．当平分
时，请证明
．
（1）如图1，将正方形纸片
对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；再对折，使与重合，得到折痕，展平纸片，连接，与交于点，连接，．则的值为________；猜想证明：
（2）如图2，将正方形纸片
对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；点在边上，连接，与交于点，连接，将绕点逆时针旋转，使点的对应点'落在对角线上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），试判断的形状，并说明理由．拓展探究：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长
交于点，连接，．当平分时，请证明．
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47次组卷
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2卷引用：2024年陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学中考九模数学试题
名校
4 . 如图，四边形
内接于
，
为的直径，对角线
交于点，的切线
交的延长线于点．若平分
．
平分
；
(2)若
，
，求
的长．
内接于，为的直径，对角线交于点，的切线交的延长线于点．若平分．
平分；(2)若
，，求的长．
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60次组卷
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2卷引用：2024年陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学中考九模数学试题
名校
5 . 如图，在矩形中，
，
，点为的中点，点在直线上，点在线段
上，且
，点为
边上一动点，则
的最小值为______ ．
中，，，点为的中点，点在直线上，点在线段上，且，点为边上一动点，则的最小值为
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63次组卷
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2卷引用：2024年陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学中考九模数学试题
名校
6 . 问题提出
（1）如图①，半圆O的直径
，C是
的中点，点D在
上，且
，P是上的动点，试求
的最小值．
问题解决
（2）如图2，扇形花坛
的半径为
，
．根据工程需要，现想在上选点P，在边
上选点E，在边
上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个
，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带
的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形，试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计）
（1）如图①，半圆O的直径
，C是的中点，点D在上，且，P是上的动点，试求的最小值．问题解决
（2）如图2，扇形花坛
的半径为，．根据工程需要，现想在上选点P，在边上选点E，在边上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形，试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计）
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7 . （1）【问题探究】如图①，四边形，
，
，
，
，点在
边上，且
，连接
并延长交的延长线于点，求
的面积．
（2）【问题解决】如图②，六边形
为一个空地，规划为园林绿化区，经过测量得到：
，
，
，
米，
米，
米，
米，为了更好地美化环境，政府计划在空地中设计出一个三角形花坛（即
），用来种植花卉，设计方案为：在边上确定点，过点作
交于，过点作
交于，连接
，请通过计算说明，当点距离点
多远时，花坛的面积能达到最大值？并求出最大值是多少？
，，，，，点在边上，且，连接并延长交的延长线于点，求的面积．（2）【问题解决】如图②，六边形
为一个空地，规划为园林绿化区，经过测量得到：，，，米，米，米，米，为了更好地美化环境，政府计划在空地中设计出一个三角形花坛（即），用来种植花卉，设计方案为：在边上确定点，过点作交于，过点作交于，连接，请通过计算说明，当点距离点多远时，花坛的面积能达到最大值？并求出最大值是多少？
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23次组卷
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2卷引用：2024年陕西省西安新城区爱知初级中学九年级第一次全仿真测试数学试题
8 . 已知抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点．
(1)求抛物线
的表达式；
(2)若抛物线关于轴对称的抛物线为
，抛物线上是否存在一点，使得
？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线
的表达式；(2)若抛物线
关于轴对称的抛物线为，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
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24次组卷
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2卷引用：2024年陕西省西安新城区爱知初级中学九年级第一次全仿真测试数学试题
9 . 如图，抛物线
与轴交于点
和点，与轴交于点
，顶点为，连接与抛物线的对称轴
交于点．
(2)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线
上是否存在点，使得以点
为顶点的三角形与
相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接与抛物线的对称轴交于点．
(2)点
是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
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名校
10 . （1）在一次数学实践探究活动中，小强用木条制作了边长都为a，且能够活动的四边形学具．他先将该学具调成图1所示正方形，接着将该学具调成图2所示的菱形，测得
．小强认为：在此变化过程中，四边形的面积变小了，你认为小强的想法对吗？若正确，请求出四边形的面积变小了多少；若不正确，请通过计算说明理由．中，
i）在的延长线上取一点E，以点A为圆心，
长为半径画弧，交边于点F，连接
．
ii）连接，作
的平分线交线段于点M，连接
．
若设
，四边形
的面积为S．
①请求出S关于x的函数表达式；
②四边形的面积可能为10吗？若可能，求出线段
的长度；若不可能，请说明理由．
，接着将该学具调成图2所示的菱形，测得．小强认为：在此变化过程中，四边形的面积变小了，你认为小强的想法对吗？若正确，请求出四边形的面积变小了多少；若不正确，请通过计算说明理由．
中，i）在
的延长线上取一点E，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点F，连接．ii）连接
，作的平分线交线段于点M，连接．若设
，四边形的面积为S．①请求出S关于x的函数表达式；
②四边形
的面积可能为10吗？若可能，求出线段的长度；若不可能，请说明理由．
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