2 . 【问题探究】
（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______；
【类比迁移】
（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长；
【拓展应用】
（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值．

3 . 【问题提出】

（1）如图1，已知点分别在四边形的边上，连接，若，，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，，点为的中点，点分别为线段上的动点（点均不与端点重合），且，连接，过点作于点，连接，求长度的最小值；
【问题解决】
（3）某地在文旅开发建设中规划设计五边形为当地文旅形象展示区（计划分为传统区和创新区两个区域），如图3，在边上分别取点（点均不与端点重合），将四边形修建为传统区，五边形修建为创新区，在上取点，并沿摆放一排花盆，沿铺设一条观赏通道，根据规划要求，，，米，米，米，，．在实际铺设中，为了节约铺设成本，要求的长度尽可能小，当的长度最小时，求的长度．

5 . （1）如图①，已知等腰直角，，点在斜边上，且，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，．
①的长为___________．
②求的面积．
（2）如图②，某城市有一块矩形空地，米，米，现计划将此矩形空地改造为休闲旅游场所，入口在边上，且米，出口为边的中点，处为一个侧门．根据规划要求，计划在矩形空地内建造一休息凉亭和一处假山，使，再修建两条互相垂直的观光路EP和EQ，且，若沿修一条笔直的小路，当小路最短时，求的长度以及此时到的距离．

6 . 问题提出：
（1）如图1，在中，，，点D为的中点，则的取值范围是______；
问题探究：
（2）如图2，正方形的边长为5，点E为的中点，平分交于点F，求的长；
问题解决：
（3）如图3，西安市兴庆公园的郁金香开花时间主要集中在3月中旬到4月中旬，这段时间游客可以欣赏到各种颜色的郁金香．公园里有一块如图3所示的花园，在边的中点处安装一个水泵P，，m，m，，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路（点Q在边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为50元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？

7 . （1）初步探究：
如图1，为等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接．若，，求的面积．

（2）深入探究：如图2，正方形为一个艺术演艺规划区域，．在正方形内部或边上，作如下规划：点B为入口，点E为中点，点F在边上，为演员化妆区，；点P在上，，点Q在上，等边为表演舞台，和为观看区域．请问观看区域和面积之和是否为定值？如是，说明理由并求出定值；如不是，说明理由．

8 . 综合与实践
问题提出：

（1）如图1，在等腰中，，点是边上的中点，点、分别为边上的动点，连接，若的面积为6，，则周长的最小值为______．
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，为对角线，若矩形的周长为12，当的值最小时，求的长？并说明理由．
问题解决：
（3）如图3是一个边长为900米的等边三角形空地（即在等边中，米），高新区管委会计划将这片空地修建成为一个公园供市民休闲放松，在修建公园时根据市广大市民．的意见作出了如下方案．
①在和上两条路上种植长为900米的鲜花带即米；
②连接交于点F，在点F处放置自动售卖机；
③过点D、F、E铺设一段圆弧形的塑胶跑道，供市民慢跑健身；
④在上修建大门M与N（大门的宽度可以忽略不计），为了方便市民进出游玩；
⑤在两个大门和自动售卖机之间铺设沥青路面．即在M、N、F三点之间铺设了沥青路；
根据以上要求，财务部门了解到塑胶跑道的铺设成本为1000元/米，沥青路面的铺设成本为200元/米，由于高新区公共建设的资金有限，财务部门给设计部门提出如下要求：“铺设的塑胶跑道所花费用最少的条件下，铺设沥青路面所花费用否存也降到最低，如果可以做出预算，求出沥青路面费用的最小值，若不存在请说明理由？”

10 . 【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，且，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，连接，，点M、N分别为边的中点，连接，求线段的长；
【问题解决】
（3）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图3，某工厂有一块四边形工业区，经测量，为了方便处理污水，该工厂在边AB上取点E，上取点F、G（点F在点G的左侧，且E、F、G三点均不与端点重合），使得，连接并延长交于点H，在点H处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由．