1 . 【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．

（1）用的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．

3 . 在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段．

(1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长；
(2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：；
(3)如图3，若为等边三角形，连接，为线段上一点，且，为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接、．当取得最小值时，请直接写出的值．

5 . 在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示．

(1)填空：
①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________；
②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：；
(2)抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值；
(3)如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到的“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______．

6 . 在中，，点E是内部的一点，连接，且，延长交于点D．

   

(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，过点A作交的延长线于点F，过点B作交于点M，求证：．
(3)如图3，在（1）问的条件下，点H是的中点，点О是直线上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，直接写出当取最小值时的值．

9 . 问题提出：
（1）如图①，已知的周长为30，其内切圆的半径为2，则的面积为_______．
问题探究：
（2）如图②，在四边形中，，以为边作等边，使得点E在边上且，点F是等边的内心，求点F到边的距离；
问题解决：
（3）如图③所示的四边形为某公园的平面图，市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即，点E到的距离为，在广场的边上装满彩灯，并在的内心F处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉F处到边上修建一条最短的地下水渠以便抽水，已知，据了解彩灯每米30元，修建水渠每米60元，当彩灯费用最少时，求装满彩灯和修建水渠的总花费是多少？（结果保留根号）