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1 . 在数学上，我们不妨约定，两个关于原点对称的函数称为“集聚”函数，
的“集聚”函数；
(2)如图，直线
与函数
交与A、
两点，直线
的“集聚”函数与函数交于
、
两点，四边形
为矩形且三角形
的面积为
，求
的值．
(3)函数
与
轴交于
、
两点，与
轴交于
，函数
的“集聚”函数与轴交于点
，点
在三角形
的外接圆的
上运动，
为三角形
的内心，当从运动到时，求内心的运动路径长．
的“集聚”函数；(2)如图，直线
与函数交与A、两点，直线的“集聚”函数与函数交于、两点，四边形为矩形且三角形的面积为，求的值．(3)函数
与轴交于、两点，与轴交于，函数的“集聚”函数与轴交于点，点在三角形的外接圆的上运动，为三角形的内心，当从运动到时，求内心的运动路径长．
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2 . 如图，
的内接三角形
中，
，
，
，点在圆上运动．
为的切线；
(2)若三角形是等边三角形时，
，求
的最大值；
(3)如图，连接
，
，当
，
，
时，设此时
的面积为
，
的面积为
，求
的值．
的内接三角形中，，，，点在圆上运动．
为的切线；(2)若三角形
是等边三角形时，，求的最大值；(3)如图，连接
，，当，，时，设此时的面积为，的面积为，求的值．
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3 . 如图，在
中，
，
D，E分别为
上两动点，
．
于H交
于K，求证：
；
(2)如图2，若
交
于F，
，
，求证：
；
(3)如图3，若
，将
绕点E顺时针旋转
得
，N为
中点，当
取得最小值时，请直接写出
的面积．
中，，D，E分别为上两动点，．
于H交于K，求证：；(2)如图2，若
交于F，，，求证：；(3)如图3，若
，将绕点E顺时针旋转得，N为中点，当取得最小值时，请直接写出的面积．
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2024-04-10更新
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385次组卷
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6卷引用：重庆市第一中学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试题
重庆市第一中学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试题重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（已下线）数学（重庆卷）-学易金卷：2024年中考第一次模拟考试重庆市渝北区六校联盟2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题2024年重庆市渝北区 九年级下学期教学大练兵数学试题（已下线）考题猜想3-1平行四边形（构造平行四边形解题的6种应用类型）-2023-2024学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）
4 . 已知内接于，连接
并延长交于点D，过点D作
于E，
．
（1）
与
的数量关系为______ ；
（2）连接
交于点F，延长
交于点G，连接．若
，
，则
______ ．
内接于，连接并延长交于点D，过点D作于E，．（1）
与的数量关系为（2）连接
交于点F，延长交于点G，连接．若，，则
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5 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，
两点，与y轴交于点
，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，
，
．
(2)
的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)设直线
与直线交于点
，若存在
与
中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，，．
(2)
的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设直线
与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2024-04-01更新
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139次组卷
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4卷引用：广东省中山市中山纪念中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
6 . 如图，
的斜边
在轴上，
，
和
的长是方程
的两根
，
是的中点，动点从点
出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线
运动，设运动时间为
秒，
的面积为
．
(1)求点的坐标；
(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)在点的运动过程中，是否存在点，使
是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
的斜边在轴上，，和的长是方程的两根，是的中点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为秒，的面积为．(1)求点
的坐标；(2)求
关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)在点
的运动过程中，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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7 . 如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，点B与点A关于y轴对称，为等边三角形，
，
．
(1)求点A的坐标；
(2)动点F从原点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，求
的面积S与t之间的关系（用含t的式子表示S）．
(3)在（2）的条件下，当点F运动到点A时，有一动点E从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段
向终点B运动，当点E到达终点时，点E、F运动停止，连接
交于点G，交y轴于点K，
①过点E作
于点H，求线段
的长；
②如图，当
，
时，在x轴负半轴有一点L，连接
，在y轴上取一点M，
，连接
并延长，交于点N，若
．求线段
的长．
为等边三角形，，． (1)求点A的坐标；
(2)动点F从原点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，求
的面积S与t之间的关系（用含t的式子表示S）．(3)在（2）的条件下，当点F运动到点A时，有一动点E从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段
向终点B运动，当点E到达终点时，点E、F运动停止，连接交于点G，交y轴于点K，①过点E作
于点H，求线段的长；②如图，当
，时，在x轴负半轴有一点L，连接，在y轴上取一点M，，连接并延长，交于点N，若．求线段的长．
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8 . 平面直角坐标系中，点
，点
知a、b满足
．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)如图1，点为线段上一点，连接
，过作
，且
，连接
交轴于点，若点
，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，如图2，过作
交于，点是射线
上一点（点不在线段上），连接
，作
，
交线段
的延长线于点
，连接，猜想线段MN与OM的关系并证明．
，点知a、b满足．(1)求点A、点B的坐标；
(2)如图1，点
为线段上一点，连接，过作，且，连接交轴于点，若点，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，过
作交于，点是射线上一点（点不在线段上），连接，作，交线段的延长线于点，连接，猜想线段MN与OM的关系并证明．
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9 . 如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作
，且
．
(1)若
，以为边在上方作
，且
，
，连接，求证：
；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，
，
，求的长；
(3)如图3，若
，，，当的值最大时，求此时
的值．
，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若
，以为边在上方作，且，，连接，求证：；(2)如图2，在（1）的条件下，若
，，，求的长；(3)如图3，若
，，，当的值最大时，求此时的值．
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10 . 如图1，已知二次函数
的图象与x轴交于点
、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C，作
轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结
、
，若
，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结
交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示
的值，并求的最大值．
的图象与x轴交于点、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且．(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C，作
轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结、，若，求点P的坐标；(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于
下方的一个动点，连结交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
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