1 . 综合与实践
问题情境：
在一节几何探究课上，老师提出这样一个问题：在正方形中，E是对角线上一点，以为一边作正方形，点F恰好在边所在的直线上，连接，求证：．
观察思考：
（1）如图1，当点F在边上时，请解答老师提出的问题．
探索发现：
受到老师的启发，综合与实践小组的同学进一步探究：H是的中点，连接．
（2）如图2，在图1的基础上，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）当E是的三等分点，时，请直接写出的长．

4 . 数学活动——旋转中的数学
“猎奇”兴趣小组在课外活动中遇到了一个问题，请帮他们解答．如图（1），在矩形中，，，点E，点F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，点M为的中点，点N，点P分别为的中点．连接．

（一）“猪奇”兴趣小组在研究的过程中，发现了与存在着一定的数量关系．
（1）请直接写出与的数量关系．
（2）如图（2），当矩形绕点A旋转（比如顺时针旋转）时，其他条件不变，（1）中与的数量关系还成立吗？若成立，请求出这个数量关系；若不成立，请说明理由．
（二）“猎奇”兴趣小组在研究时，在图（1）中还发现了“”这个结论．
（1）在图（2）中，小组成员通过观察测量发现与还是具有互相垂直的位置关系，但是不能确定是否一定成立，你认为一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）小组的其他成员试着又对图形进行了变换，如图（3），它是矩形随意移动一个位置后形成的图形，在这个图形中，还成立吗？请直接写出你的猜想，不必证明．

6 . 综合与实践
项目背景：折纸几何学是现代几何学的一个分支，又称作折纸数理学，指的是对折纸艺术从数学的角度加以研究．数学课上老师给每位同学发了一张长为、宽为的矩形纸片，引导同学们探索矩形纸片中的几何问题，如图①，在矩形中，，，E为边上一点．

   

(1)实践探究一：如图①，沿折叠，使点B的对应点落在矩形内部的点G处，延长恰好经过点D，求的长；
(2)实践探究二：如图②，对折矩形，使点A与点B重合，点D与点C重合，得到折痕后展开；沿折叠，使点B的对应点落在上的点G处；延长交于点H，试判断的形状，并说明理由；
(3)实践探究三：如图③，当点E在边上运动时，沿折叠，使点B的对应点落在点G处；连接，取的中点P，连接，请直接写出的最小值：__________．

7 . 综合与实践
【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知是等边三角形，，点是射线上的一点，以为边作矩形（顶点，，，按逆时针顺序排列），其中，直线分别与射线、直线交于点，．
1．【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点与点重合时的图形，如图，并提出如下问题，请你解答：
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
2．【深入思考】
（2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点恰好是的中点时的图形，如图，求此时的值；
3．【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，直接写出当时的值．