1 . （1）如图1，四边形
是正方形，
是等腰直角三角形，
．
①求证：
；②线段
与
的数量关系是______；
（2）将图1中的绕点B顺时针旋转，当旋转到点F在的延长线上时，
与
相交于点G，
①如图2，当点G是的中点时，若
，求线段的长；
②如图3，当点G不是的中点时，设的中点为H，连接
，判断线段
的关系，并说明理由．
是正方形，是等腰直角三角形，．①求证：
；②线段与的数量关系是______；（2）将图1中的
绕点B顺时针旋转，当旋转到点F在的延长线上时，与相交于点G，①如图2，当点G是
的中点时，若，求线段的长；②如图3，当点G不是
的中点时，设的中点为H，连接，判断线段的关系，并说明理由．
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219次组卷
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4卷引用：2024年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题
2 . 如图，在正方形中，E，F分别在
边（不含端点）上运动，满足
，正方形
的边
所在直线交
于I，交于J，记四边形
的面积为
，
的面积为
，
为α，用含α的三角函数的式子表示
的值是_______ ．
中，E，F分别在边（不含端点）上运动，满足，正方形的边所在直线交于I，交于J，记四边形的面积为，的面积为，为α，用含α的三角函数的式子表示的值是
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3 . 正方形
与正方形的顶点
重合，点E，G分别在边，
上．
，则线段与
之间的数量关系为 ；
(2)将正方形绕点B逆时针旋转
，连接
，如图2，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，且
的面积最大时：
①直接写出旋转角
的度数；
②若
，
，求正方形的边
长．
与正方形的顶点重合，点E，G分别在边，上．
，则线段与之间的数量关系为 ；(2)将正方形
绕点B逆时针旋转，连接，如图2，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)在（2）的条件下，且
的面积最大时：①直接写出旋转角
的度数；②若
，，求正方形的边长．
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4 . （1）如图1，在正方形中，E为线段
上一点，连接
，F为射线
上一点，
，试判断，的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将（1）中的正方形改为矩形，其他条件不变，若
，
，试探究，的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）条件下，连接
，
，若
，
，则
．
中，E为线段上一点，连接，F为射线上一点，，试判断，的位置关系，并说明理由；（2）如图2，将（1）中的正方形
改为矩形，其他条件不变，若，，试探究，的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（1）条件下，连接
，，若，，则 ．
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5 . 在正方形
，
，
分别是射线
，
上的点，
于点
．如图，若点是边上的点．延长
交
的延长线于点
，连结
；
(2)若
，
，直接写出
的值________；
(3)延长交射线于点，连结
，，若
，求
的值（用含
的代数式表示）．
，，分别是射线，上的点，于点．如图，若点是边上的点．延长交的延长线于点，连结
；(2)若
，，直接写出的值________；(3)延长
交射线于点，连结，，若，求的值（用含的代数式表示）．
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6 . 如图，已知正方形的边长为
，在边的延长线上有一动点，以为对角线作正方形
，连接，为的中点，连接
、
则当
的面积最小时，正方形的边长为_____ ．
的边长为，在边的延长线上有一动点，以为对角线作正方形，连接，为的中点，连接、则当的面积最小时，正方形的边长为
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7 . 问题提出：如图（1），E是菱形边上一点，
是等腰三角形，
，
，交
于点G，探究
与的数量关系．
（1）先将问题特殊化，如图（2），当
时，求证：
：
（2）再探究一般情形，如（1），试探究与的数量关系．
问题拓展：现将图（1）特殊化，如图（3），连接，若
，菱形的面积为
，则当点E从点B运动到点C时，线段扫过的面积为_____
边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系．
（1）先将问题特殊化，如图（2），当
时，求证：：（2）再探究一般情形，如（1），试探究
与的数量关系．问题拓展：现将图（1）特殊化，如图（3），连接
，若，菱形的面积为，则当点E从点B运动到点C时，线段扫过的面积为_____
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8 . 如图是由小正方形组成的
网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．上方找到点A，使
是一个以为斜边的等腰直角三角形
(2)请在线段上找一点D使
(3)已知E，F分别为，上两动点，且
，为探究E点在何处时
最小，请你完成如下步骤：
①将点D绕A点逆时针旋转
得
，并连接
交于F；
②再在上找到点E使即可确定E点位置．
网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
上方找到点A，使是一个以为斜边的等腰直角三角形(2)请在线段
上找一点D使(3)已知E，F分别为
，上两动点，且，为探究E点在何处时最小，请你完成如下步骤：①将点D绕A点逆时针旋转
得，并连接交于F；②再在
上找到点E使即可确定E点位置．
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2024-05-16更新
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75次组卷
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2卷引用：湖北省武汉市武昌区七校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
解题方法
9 . 某校数学活动小组探究了如下数学问题：中，
，
．点P是底边上一点，连接
，以为腰作等腰
，且
，连接
、则
和的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接
，以为底边作等腰
，连接
，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形中，点
是边上一点，以
为边作正方形
，点
是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为
，
，请直接写出正方形的边长．
中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______；(2)变式探究：如图2，
中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，在正方形
中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长．
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10 . 如图1，在正方形中，点是对角线
上一点，连接
，将线段绕点逆时针旋转，使点
落在射线
上的点处，连接
．
（1）证明：
；
【探索发现】
（2）延长
交直线于点
，请将图1补充完整，猜想此时线段
和线段的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若
，延长
至点
，使
，连接
．当
的周长最小时，请求线段的长．
中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．
（1）证明：
；【探索发现】
（2）延长
交直线于点，请将图1补充完整，猜想此时线段和线段的数量关系，并说明理由；【拓展应用】
（3）如图2，若
，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请求线段的长．
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