1 . 已知,点是正方形边上一点,连接,延长至, 使, 连接交于点._______________ ° ;
(2)连接,,与交于,若, 则_______________ .
(1)若, 则
(2)连接,,与交于,若, 则
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解题方法
2 . 某校数学活动小组探究了如下数学问题:(1)问题发现:如图1,中,,.点P是底边上一点,连接,以为腰作等腰,且,连接、则和的数量关系是______;
(2)变式探究:如图2,中,,.点P是腰上一点,连接,以为底边作等腰,连接,判断和的数量关系,并说明理由;
(3)问题解决:如图3,在正方形中,点是边上一点,以为边作正方形,点是正方形两条对角线的交点,连接.若正方形的边长为,,请直接写出正方形的边长.
(2)变式探究:如图2,中,,.点P是腰上一点,连接,以为底边作等腰,连接,判断和的数量关系,并说明理由;
(3)问题解决:如图3,在正方形中,点是边上一点,以为边作正方形,点是正方形两条对角线的交点,连接.若正方形的边长为,,请直接写出正方形的边长.
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3 . 如图,在平面直角坐标系中,正方形的顶点A,B分别在x轴、y轴上,E为正方形对角线的交点,反比例函数的图象经过点C,E.若正方形的面积为10,则k的值是 _____ .
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4 . 如图所示,在正方形中,P为对角线上一点,且,连接,,延长交于点F,交延长线于点G.将线段绕点C顺时针旋转,点P落在的E点处,连接.下列结论:①E为的中点;②;③;④为等腰直角三角形;⑤.其中结论正确的序号是( )
A.①③⑤ | B.①②④⑤ | C.②③④ | D.①②③④⑤ |
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5 . 已知:在中,,.(1)如图Ⅰ,点在边上,以为边作正方形,连接并延长,交的延长线于点.直接写出的形状: ;
(2)如图Ⅱ,点在边的延长线上,以为边作正方形,与的延长线于点.
①(1)中的结论是否会改变?并说明理由;
②连接,点是的中点,与交于点,,求证:.
(2)如图Ⅱ,点在边的延长线上,以为边作正方形,与的延长线于点.
①(1)中的结论是否会改变?并说明理由;
②连接,点是的中点,与交于点,,求证:.
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6 . (1)[问题探究]
如图1,在正方形中,对角线相交于点.点是线段上一点(与点、不重合),连结.①求证:;
②将线段绕点逆时针旋转,点落在的延长线上的点处.当点在线段上运动时,的大小是否发生变化?请说明理由;
③探究与的数量关系,并说明理由.
(2)[迁移探究]
如图2,将正方形换成菱形,且,其他条件不变.试探究与的数量关系,并说明理由.
如图1,在正方形中,对角线相交于点.点是线段上一点(与点、不重合),连结.①求证:;
②将线段绕点逆时针旋转,点落在的延长线上的点处.当点在线段上运动时,的大小是否发生变化?请说明理由;
③探究与的数量关系,并说明理由.
(2)[迁移探究]
如图2,将正方形换成菱形,且,其他条件不变.试探究与的数量关系,并说明理由.
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7 . 在学习了“特殊的平行四边形”这一章后,同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣,他发现除了已经学过的特殊四边形外,还有很多比较特殊的四边形,勇于创新的他大胆地作出这样的定义:有一个内角是直角,且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”.请你根据以上定义,回答下列问题:(1)下列关于“双直四边形”的说法,正确的有_______(把所有正确的序号都填上);
①“双直四边形”的对角线不可能相等:
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半;
③若一个“双直四边形”是中心对称图形,则其一定是正方形.
(2)如图①,正方形中,点、分别在边、上,连接,,,,线段、于点O,若,证明:四边形为“双直四边形”;
(3)如图②,在平面直角坐标系中,已知点,,点在线段上,且,在第一象限内,是否存在点,使得四边形为“双直四边形”,若存在;请直接写出所有点的坐标,若不存在,请说明理由.
①“双直四边形”的对角线不可能相等:
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半;
③若一个“双直四边形”是中心对称图形,则其一定是正方形.
(2)如图①,正方形中,点、分别在边、上,连接,,,,线段、于点O,若,证明:四边形为“双直四边形”;
(3)如图②,在平面直角坐标系中,已知点,,点在线段上,且,在第一象限内,是否存在点,使得四边形为“双直四边形”,若存在;请直接写出所有点的坐标,若不存在,请说明理由.
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8 . 如图,在正方形中,E,F分别在边(不含端点)上运动,满足,正方形的边所在直线交于I,交于J,记四边形的面积为,的面积为,为α,用含α的三角函数的式子表示的值是_______ .
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9 . 如图1,正方形的边长为4,点是对角线上两动点,且,将点沿的方向平移2个单位得到点,连接、.(1)①四边形的形状为_____________;
②连接、,当点,,共线时,的值为_____________.
(2)自古以来,黄河就享有“母亲河”的美誉,是中华文明的发源地之一,也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮.如图2,某地黄河的一段出现了分叉,形成了“”字型支流,分叉口有一片三角形地带的湿地,在支流1的左上方有一村庄,支流2的右下方有一开发区,为促进当地的经济发展,经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、(支流1的两岸互相平行,支流2的两岸也互相平行,桥梁均与河岸垂直),你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗?(即和的最小值).经测量,、两地的直线距离为2000米,支流1、支流2的宽度分别为米、250米,且与线段所夹的锐角分别为、.
②连接、,当点,,共线时,的值为_____________.
(2)自古以来,黄河就享有“母亲河”的美誉,是中华文明的发源地之一,也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮.如图2,某地黄河的一段出现了分叉,形成了“”字型支流,分叉口有一片三角形地带的湿地,在支流1的左上方有一村庄,支流2的右下方有一开发区,为促进当地的经济发展,经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、(支流1的两岸互相平行,支流2的两岸也互相平行,桥梁均与河岸垂直),你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗?(即和的最小值).经测量,、两地的直线距离为2000米,支流1、支流2的宽度分别为米、250米,且与线段所夹的锐角分别为、.
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名校
10 . 如图,已知正方形,点是边上的一个动点(不与点、重合),点在上,满足,延长交于点.(1)求证:;
(2)连接.
①当时,求的值.
②如果是以为腰的等腰三角形,直接写出的度数.
(2)连接.
①当时,求的值.
②如果是以为腰的等腰三角形,直接写出的度数.
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70次组卷
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2卷引用:河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题