1 . 如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．

   

(1)求证；
(2)连接，取中点，连接并延长交于，连接．
①依题意，补全图形：
②求证；
③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．

2 . 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现）
（1）如图，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
   


（模型应用）
（2）如图，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为的面积为，则有_____________（填“>、、”）

3 . 如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　）

   

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4 . 如图①，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接．
   
(1)求证：；
(2)如图②，连接交于点H，连接，求证：；
(3)在(2)的条件下，若，点H恰为中点，求的面积．

5 . 如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．
   
(1)试判断，，之间的数量关系；
(2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系．

6 . 如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（       ）
   

A．个

B．个

C．个

D．个

7 . 如图1，四边形是正方形，点E在边上任意一点（点E不与点A，点B重合），点F在的延长线上，．

      

(1)求证：；
(2)如图2，作点D关于的对称点G，连接、、，与交于点P，与交于点H，与交于点Q．
①若，求的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．．

8 . （1）如图1，在正方形中，相交于点O且则和的数量关系为        ．
（2）如图2，在正方形中，E、F、G分别是边上的点，，垂足为H．求证：．
（3）如图3，在正方形中，E、F、M分别是边上的点，，，将正方形沿折叠，点M的对应点恰好与边上的点N重合，求的长度．

9 . 如图，已知正方形，是边延长线上的动点不与点重台，且，由平移得到，若过点作，点为垂足，则有以下结论：①在点运动过程中，四边形可能为菱形；②无论点运动到何处，都有；③若，则有；④无论点运动到何处，一定大于．其中正确结论的序号为________．

10 . 如图，点E在正方形外，连接，过点A作的垂线交于点F．若．则下列结论：
①；
②；
③点B到直线的距离为；
④．
其中正确的结论是________.（填写所有正确结论的序号）