1 . 如图，正方形
的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边
上运动，且满足
，连接
，过点O作
交
点G，则下列结论：①连接
，则
的周长不变；②若
，则
；③连接
，则
；④
．其中正确的为（ ）
的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（ ）
| A．①② | B．①③ | C．①②④ | D．②③④ |
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2 . 【模型提出】如图
，已知线段的长度为
，在线段所在直线外有一点
，且
，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形
，再以点
为圆心，
长为半径画圆，则点在
的优弧
上.即：若线段的长度已知，
的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.
【模型应用】如图
，在正方形中，
，点
分别是边
、
上的动点，
，连接
、
，与交于点
.
；
(2)点
从点
到点的运动过程中，点经过的路径长为______；
(3)若点
是
的内心，连接
，则线段的最小值为______.
，已知线段的长度为，在线段所在直线外有一点，且，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点为圆心，长为半径画圆，则点在的优弧上.即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.【模型应用】如图
，在正方形中，，点分别是边、上的动点，，连接、，与交于点.
；(2)点
从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______；(3)若点
是的内心，连接，则线段的最小值为______.
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3 . 【操作与发现】如图①，在正方形中，点
，
分别在边、上．连接
、
、
．
，将
绕点
顺时针旋转
，点
与点重合，得到
．易证：
，从而可得：
．
，则正方形的边长是_____（直接写出答案）．
(2)如图②，在正方形中，点、分别在边
、上，连接、、，，若
，求证：是的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形中，
，点、分别在边、上，连接、，已知，
，求
的长．
中，点，分别在边、上．连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：，从而可得：．
，则正方形的边长是_____（直接写出答案）．(2)如图②，在正方形
中，点、分别在边、上，连接、、，，若，求证：是的中点．(3)【拓展】如图③，在矩形
中，，点、分别在边、上，连接、，已知，，求的长．
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4 . 综合与实践：
中，
，
是外角
的平分线，则与的位置关系是__________．
(2)问题解决：如图2，在矩形中，
，
，点是的中点；将沿直线翻折，点落在点
处，连接
，求
和线段的长．
(3)拓展迁移：如图3，正方形的边长为10，是边上一动点，将正方形沿
翻折，点的对应点为
，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点
（点在点上方），若
，请直接写出
的长．
中，，是外角的平分线，则与的位置关系是__________．(2)问题解决：如图2，在矩形
中，，，点是的中点；将沿直线翻折，点落在点处，连接，求和线段的长．(3)拓展迁移：如图3，正方形
的边长为10，是边上一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点（点在点上方），若，请直接写出的长．
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5 . 如图1，在边长为4的正方形中，点H为上一动点，且
，截取
，且
交线段于M，过M作的垂线交于N．
；
(2)如图2，若点M是的中点，求
的周长；
(3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，的周长如何变化？请说明理由．
中，点H为上一动点，且，截取，且交线段于M，过M作的垂线交于N．
；(2)如图2，若点M是
的中点，求的周长；(3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，
的周长如何变化？请说明理由．
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6 . 如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接
交于点M．；
(2)如图2，连接
与交于点G，连接
交于点H．
①求证：
；
②当
时，求
的值；
(3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，
为半径作
，P是上的一个动点，连接
交于点N，则
的最大值为 ．
中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M．
；(2)如图2，连接
与交于点G，连接交于点H．①求证：
；②当
时，求的值；(3)如图3，若E是
的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ．
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7 . 如图，在正方形中，E，F分别在
边（不含端点）上运动，满足
，正方形
的边
所在直线交于I，交于J，记四边形
的面积为
，
的面积为
，
为α，用含α的三角函数的式子表示
的值是_______ ．
中，E，F分别在边（不含端点）上运动，满足，正方形的边所在直线交于I，交于J，记四边形的面积为，的面积为，为α，用含α的三角函数的式子表示的值是
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8 . 综合与实践中，为边上一点，将
沿
翻折到
处，延长交边于点．求证：
；
(2)探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且
，
．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点
，且
，求的长．
(3)拓展：如图③，在菱形中，，为边上的一点且
，
，
沿翻折得到
，
与交于且
，直线交直线于点
，求
的长．
中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；(2)探究：如图②，在矩形
中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．(3)拓展：如图③，在菱形
中，，为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于且，直线交直线于点，求的长．
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9 . 如图，在矩形中，
．把沿折叠，使点D 恰好落在边上的处，再将
绕点 E 顺时针旋转a，得到
，使得
恰好经过
的中点
交于点G，连接
．有如下结论：①
的长度是
；②弧
的长度是
；③
；④
，上述结论中，所有正确的序号是（ ）
中，．把沿折叠，使点D 恰好落在边上的处，再将绕点 E 顺时针旋转a，得到，使得恰好经过的中点交于点G，连接．有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④，上述结论中，所有正确的序号是（ ）
| A．①②④ | B．①②③ | C．②③④ | D．①②③④ |
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10 . 【问题发现】中，E为对角线
上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：
．
【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点F，
，连接，求
的值．
．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将点E改为射线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，
．若
，则当
时，请求出的长．
中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．【类比探究】（2）如图2，在矩形
中，E为对角线上动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点F，，连接，求的值．．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将点E改为射线
上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当时，请求出的长．
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