1 . 综合与探究
如图，抛物线
与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，其对称轴交x轴于点F，点
是抛物线上一动点．
(2)已知存在一平行于x轴的直线l，点P到点F的距离与点P到此直线的距离始终相等，设直线l上所有点的纵坐标均为k．
①请求出k的值．
②当
时，作直线
交抛物线于点Q，在直线l上是否存在一点M，使得
是以
为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线
与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，其对称轴交x轴于点F，点是抛物线上一动点．
(2)已知存在一平行于x轴的直线l，点P到点F的距离与点P到此直线的距离始终相等，设直线l上所有点的纵坐标均为k．
①请求出k的值．
②当
时，作直线交抛物线于点Q，在直线l上是否存在一点M，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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2 . 在
中，
，
，
，D在
上，
，B关于
的对称点E，连接
交于
，则下列结论中错误的是（ ）
中，，，，D在上，，B关于的对称点E，连接交于，则下列结论中错误的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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真题
3 . 如图，，，
，
，点D，E分别在
边上，
，连接
，将
沿翻折，得到
，连接，
．若
的面积是
面积的2倍，则
______ ．
，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则
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4 . 如图，为
的直径， 弦
，
是延长线上一点，
．是的切线；
(2)求证：
为的直径， 弦，是延长线上一点，．
是的切线；(2)求证：
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5 . 【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
（1）如图
，若
和
均为等边三角形，点
、
、在同一条直线上，连接
，则
的度数为 ；线段与
之间的数量关系是 ．
【模型应用】
（2）如图
，
，
，求证：
；
（3）如图
，
为等边内一点，且
，以
为边构造等边
，这样就有两个等边三角形共顶点
，然后连接
，求
的度数是 ．
【拓展提高】
（4）如图
，在中，
，
，点为外一点，点为
中点，
，
，求
的度数．（用含有m的式子表示）
（5）如图
，两个等腰直角三角形和中，，
，
，连接
，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系．
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
（1）如图
，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ．【模型应用】
（2）如图
，，，求证：；（3）如图
，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ．【拓展提高】
（4）如图
，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示）（5）如图
，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系．
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6 . 【感知】如图①， 
内接于半径为R的， 点A 是上动点， 且点A、D位于
两侧，则弦的最大值为______；（用含R的代数式表示）
【探究】如图②，内接于， 点A是上动点， 且点A、D位于两侧．若的半径为6，
，求点A 到距离的最大值．下面是小明的部分求解过程：
解： 连结
， 过点A作 
于点H．
过点O作
于点
并反向延长，交 于点 
，连结
．
证明过程缺失
∴点A到距离的最大值为9．
请你补全解答过程．
【拓展】如图③，现计划建一个四边形空地
，按规划要求：
，
，
，
，调整点D的位置，使四边形的面积最大，则这个最大面积为______
．
内接于半径为R的， 点A 是上动点， 且点A、D位于两侧，则弦的最大值为______；（用含R的代数式表示）【探究】如图②，
内接于， 点A是上动点， 且点A、D位于两侧．若的半径为6，，求点A 到距离的最大值．下面是小明的部分求解过程：解： 连结
， 过点A作 于点H．过点O作
于点并反向延长，交 于点 ，连结．证明过程缺失
∴点A到
距离的最大值为9．请你补全解答过程．
【拓展】如图③，现计划建一个四边形空地
，按规划要求：，，，，调整点D的位置，使四边形的面积最大，则这个最大面积为______．
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7 . 如图， 在 
中，，
，
，D在边上运动，连接．过点A作
，交边于点E， 交线段于点 F．的长为______；
(2)当
与 相似时，求的长；
(3)运动过程中，当点B、F的距离最小时，求这个最小值及此时的面积；
(4)连接，当四边形
为轴对称图形时，直接写出的长．
中，，，，D在边上运动，连接．过点A作 ，交边于点E， 交线段于点 F．
的长为______；(2)当
与 相似时，求的长；(3)运动过程中，当点B、F的距离最小时，求这个最小值及此时
的面积；(4)连接
，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
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真题
8 . 如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边
上，沿垂直于
的直线折叠得到折痕
，点B，C分别落在正方形所在平面内的点
，
处，然后还原．上，且
，则
______ （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕
，点G，H分别在边
上，点D落在正方形所在平面内的点
处，然后还原．若点在线段
上，且四边形
是正方形，
，
，与的交点为P，则
的长为______ ．
，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．
上，且，则（2）再沿垂直于
的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为
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真题
9 . 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
请根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为
，离A站的路程为
；G1002次列车的行驶速度为
，离A站的路程为
．
①
______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则
），已知
千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中
，若
，求t的值．
列车运行时刻表
车次 | A站 | B站 | C站 | |
发车时刻 | 到站时刻 | 发车时刻 | 到站时刻 | |
D1001 | 8：00 | 9：30 | 9：50 | 10：50 |
G1002 | 8：25 | 途经B站，不停车 | 10：30 | |
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为
，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．①
______；②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则
），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
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真题
10 . 如图，在中，
，为斜边上一点，以为直径作，交
于，两点，连接，
，
．
；
(2)若
，
，
，求的长和的直径．
中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
；(2)若
，，，求的长和的直径．
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