1 . 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．

(1)思路梳理：
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
易证      ，得．
(2)类比引申：
如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由．
(3)联想拓展：
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．

3 . 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时 ），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．

   

(1)请直接写出线段，，之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
(3)如图4， 在中， ，，点， 在边上，且，当， 时， 求的长．

4 . 如图①，已知正方形中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且，，交于点，过点作交于点．

(1)写出与的数量关系为 　　，位置关系为 　　．
(2)若，，试求线段的长．
(3)如图②，连接并延长交于点，若点是的中点，试求的值．

5 . 综合与实践

   

(1)发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；
(2)探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
(3)拓展：如图③，在菱形中，，为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于且，直线交直线于点，求的长．

6 . 已知在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为．

(1)如图1，当四边形是正方形时，求的值；
(2)如图2，当四边形是菱形时，求与的函数关系式；
(3)求当为多少时，最大；当为多少时，最小．

7 . 如图，在矩形中，．把沿折叠，使点D 恰好落在边上的处，再将绕点 E 顺时针旋转a，得到，使得恰好经过的中点交于点G，连接．有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④，上述结论中，所有正确的序号是（     ）

A．①②④

B．①②③

C．②③④

D．①②③④

8 . 【问题发现】

（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．
【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点F，，连接，求的值．
．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将点E改为射线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当时，请求出的长．

9 . 如图，在正方形中，，动点P从点A出发，经过点B，向点C匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，向点C匀速运动，速度为．连接，，，设运动时间为．

(1)当时，求t的值；
(2)是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)当t为何值时，为等腰三角形？
(4)设的面积为S，求出S关于t的函数表达式，以及当t为何值时，S等于正方形面积的．