1 . 【操作与发现】如图①，在正方形中，点，分别在边、上．连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：，从而可得：．

   

(1)【实践探究】在图①条件下，若，则正方形的边长是_____（直接写出答案）．
(2)如图②，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，若，求证：是的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形中，，点、分别在边、上，连接、，已知，，求的长．

2 . 综合与实践：

(1)问题发现：如图1，在中，，是外角的平分线，则与的位置关系是__________．
(2)问题解决：如图2，在矩形中，，，点是的中点；将沿直线翻折，点落在点处，连接，求和线段的长．
(3)拓展迁移：如图3，正方形的边长为10，是边上一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点（点在点上方），若，请直接写出的长．

4 . 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．

(1)思路梳理：
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
易证      ，得．
(2)类比引申：
如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由．
(3)联想拓展：
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．

6 . 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时 ），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．

   

(1)请直接写出线段，，之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
(3)如图4， 在中， ，，点， 在边上，且，当， 时， 求的长．

7 . 如图①，已知正方形中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且，，交于点，过点作交于点．

(1)写出与的数量关系为 　　，位置关系为 　　．
(2)若，，试求线段的长．
(3)如图②，连接并延长交于点，若点是的中点，试求的值．

8 . 综合与实践

   

(1)发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；
(2)探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
(3)拓展：如图③，在菱形中，，为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于且，直线交直线于点，求的长．

9 . 已知在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为．

(1)如图1，当四边形是正方形时，求的值；
(2)如图2，当四边形是菱形时，求与的函数关系式；
(3)求当为多少时，最大；当为多少时，最小．

10 . 如图，在矩形中，．把沿折叠，使点D 恰好落在边上的处，再将绕点 E 顺时针旋转a，得到，使得恰好经过的中点交于点G，连接．有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④，上述结论中，所有正确的序号是（     ）

A．①②④

B．①②③

C．②③④

D．①②③④