3 . （1）如图①，锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为______；
（2）如图②，在边长为的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段，连接，则长度的最小值为______；
（3）如图③，正方形边长为，点在边上，．以点为圆心，长为半径画，点在上移动，将绕点逆时针旋转90°至，连接，在点移动过程长度的最大值为______．

6 . 琅琊中学九年级一班同学利用工具，对几种四边形进行探究．

【初步认识】同学们所用的工具由两条互相垂直的直线构成，垂足为O．如图1，同学们将该工具放入正方形中，该工具与正方形四条边的交点分别为E、F、G、H．
（1）若点O在边长为1的正方形的中心，直接写出的最大值和最小值．
（2）试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】如图2，同学们又将该工具放入矩形中，该工具与矩形四条边的交点分别为E、F、G、H．若，，则        ．（直接写出答案）
【拓展运用】如图3，同学们将工具放入四边形中，使其经过C、B两点，并与边交于点，与边交于点．已知，，．求的值．

7 . 已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点．过点作直线的垂线，垂足为点．

(1)当为锐角时，依题意补全图形，并直接写出的度数；
(2)在（1）的条件下，写出线段和之间的数量关系，并证明；
(3)设直线与直线相交于点，若，直接写出线段长的最大值和最小值．

8 . （1）如图1，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，求出的大小．

（2）如图2，正方形的边长为2，，在下方以为斜边作等腰直角，求的最大值．

（3）如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．

10 . （1）问题提出：如图①，在矩形中，，，是上一动点，则的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形中，，点是平面上一点，且，连接，在上方作正方形，求的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧上．设计铺设和这两条不同造价鹅卵石路，已知米，米，，，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．