1 . 在正方形中，是边上一点（不与点，重合），作点关于的对称点，连接．

(1)如图1，连接、，若，求证：；
(2)如图2，连接，， 作于点，、分别为、的中点， 连接，．
①求的大小；
②猜想线段与的关系，并证明．

2 . 几何探究
【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请帮助小新完成下列问题：
①求证；
②连接，则之间的数量关系是____________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．

3 . 如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．

   

(1)求证；
(2)连接，取中点，连接并延长交于，连接．
①依题意，补全图形：
②求证；
③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．

4 . 【问题再现】人教版《数学》八年级下册第68页有这样一个题：

如图是一个正方形，点E、F分别是上的点，且，问：吗？为什么？
我们可以通过证明，从而得出．若把题中的换成，同样可以通过证明，从而得出．

(1)如图1，在正方形中，E，F，G分别是上的点，，垂足为点M，求证：．
(2)如图2，在的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，交于点M．则的度数为______；
(3)如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在AB的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点M，N．
①求的度数；
②连接交于点H，求证：．

6 . 【方法提炼】
解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．
【问题情境】
如图，在正方形中，分别是上的点，于点．求证：．
小明在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法：平移线段使点与点重合，构造全等三角形；
方法：平移线段使点与点重合，构造全等三角形；
【尝试应用】

(1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
(2)如图，正方形网格中，点为格点，交于点．求的值；
(3)点是直线上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点．
求的度数；
连接交于点，若，直接写出的值．

7 . 已知正方形，E，F为平面内两点．

(1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．求证：．
(2)如图2，当点E在正方形外部时，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段之间的数量关系；
(3)如图3，当点E在正方形外部时，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，求的长．

8 . 如图1，在边长为4的正方形中，将绕点A逆时针旋转）得到，射线与的平分线相交于F，连接．
   
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)如图2，在旋转的过程中，猜想与之间的数量关系，并给予证明．

9 . 射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③．

（1）请你证明射影定理中的结论③，即．
【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题．
（2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：．