2 . 在求线段最值问题中，我们常通过寻找（或构造）待求线段的“关联三角形”来解决问题．“关联三角形”中除待求线段外的两条线段的长度是已知（或可求的），再利用三角形三边关系定理求解，线段取得最值时“关联三角形”不复存在（即三顶点共线）．

例：如图1，，矩形的顶点A，B分别在边，上，当B在边上运动时，A随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？
分析：如图1，取的中点E，连接DE、OE，则中，为待求线段，，的长是可求的，即为待求线段的“关联三角形”，在中利用三角形三边关系定理可以得到的不等式，当点O，E，D三点共线时（如图2），“关联三角形”不存在，此时可得到的最值．
(1)根据上面的分析，完成下列填空：
解：如图1，取的中点E，连接DE，OE．
在中，，
在中，，
在中，，即______，
如图2，当点O，E，D三点共线时，_________，
综上所述：，即点D到点O的最大距离是________．
(2)如图3，点P在第一象限，是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________．
(3)如图4，点E，F是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，试求长度的最小值．

4 . 阅读与思考
阅读下面材料，并按要求完成相应的任务

正方形的折叠 正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决．

下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题：
如图，正方形边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值．
【特例探究】
任务一：
（1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则______．
任务二：
（2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值．
下面是该结论的部分解答过程：
在图2中，过点F作于M，延长交于N．
易证四边形为矩形，______，

∴设，则，，，
在中，根据勾股定理得

解得：（舍去），
即

∴在中，______
仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整．

图1图2图3

【方法应用】
任务三：
（3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值．

5 . 【给出问题】：已知：是正方形 的外接圆，点在上除、外），试求的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在中作出内接正方形．（保留痕迹，不写作法）
②原题中______________；
【深入思考】：（2）【问题】如图，若四边形是的内接正方形，点为弧上一动点，连接、、、，请探究、、三者之间或者、、三者之间有何数量关系，并给予证明．
   
（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点为弧上一动点，请探究、、三者之间有何数量关系：_____________________________________．(不写证明过程）．
   
（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积．
   

6 . 【问题原型】如图①，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），连接，过点E作于E，且，点A与点P在直线同侧，连接，求的大小．
   
（1）【思考尝试】以下是华华对于本问题的部分解答过程，请你补全余下的证明过程．
解：在边上截取，连接，
   
，
，
，
在正方形中，
，
，
，
，，
．
（2）【拓展迁移】如图②，在长方形中，，E为边上一动点（点E，B不重合），连接，过点E作于E，且，点A与点P在直线同侧，连接，则______．（提示：类比【思考尝试】的做法，在边上截取，连接，易知．）
（3）【灵活运用】在（2）的条件下，连接，如图③，若，直接写出是直角三角形时的长．

7 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．

【作业】如图①，已知正方形中，分别是、边上的点，且．求证：．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到，则．
四边形是正方形，，
．
．
又，点在一条直线上．
＿＿＿，＿＿＿．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为，，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，．
设，则．
在中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，，是边上的点，且，则＿＿＿．
（3）如图③，在中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．

8 . 如图甲，正方形和等腰直角有公共点，点是直线上一动点，连接，取的中点，连接．
   
(1)【方法体会】线段，有着特别的关系，请依据思路将横线处补充完整．
解：在图甲中，将线段延长至点，使，连接，，交于点．
则：
即：
在和中：
∵
∴______（）
∴，
设，交于点，
   


又∵
∴
∴，即
又∵点是中点，点是中点
∴，
又∵，
∴，的位置关系是_____；数量关系是______．
(2)【探索发现】如图乙，交于点，交于点，交于点，当点与点重合时，求：的值；
(3)【拓展运用】若正方形的边长为，连接，，在点运动的过程中，当时，请在备用图中画出此时的图形，并求出此时的面积．