1 . 【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．

   

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．
①填空：______；
②求证：．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值．

3 . 某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形（）的对角线的交点旋转（），图中的分别为直角三角形的直角边与矩形的边的交点．
解决问题：（）该学习小组成员意外的发现图（三角板一直角边与重合）中，此时发现这三条线段之间满足以下的数量关系：；在图中(三角板一边与重合)，，请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由．

类比探究：（）在图中（三角板一边与重合），直接写出这三条线段之间所满足的数量关系          ．
在图中，试探究这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
拓展延伸：（）将矩形改为边长为的正方形，直角三角板的直角顶点绕点旋转到图，两直角边与，分别交于，直接写出这四条线段之间所满足的数量关系．（不需要证明）

5 . 小新同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E，交于点G，过点E，G分别作、的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．

   

(1)【探究发现】如图1，
①与的大小关系：______；
②与的大小和位置关系：______．
(2)【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述①②中的关系还存在吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】如图3，若，则：
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为______；
②在旋转过程中，的最大值是______．

6 . 如图， 点，分别在正方形的边，上，，，， 点 是的中点， 过点的直线与正方形的一组对边交于点，   （与点，不重合）， 点在或上．若， 则的长为_________ ．

8 . 【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则_______；
【迁移应用】如图2，在正方形中，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．
①线段与的数量关系是_______；
②若是的三等分点，则的面积为_______．

        

9 . 在矩形中，，，于M，分别交，于点E，F，分别交，于点G，H．

(1)【观察猜想】如图①，当时，线段与线段的数量关系是      ；
(2)【类比探究】如图②，当时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)【拓展运用】如图③，在四边形中，，，于G，点E、F分别在边、上，若，求的长．

10 . 在四边形中，点G是上的点，连接，点F是上的点，在上取点H，使，连接．
   
(1)若四边形为正方形．
①如图1，点F为对角线上一点，求证：；
②如图2，若于点F，求证：．
(2)如图3，若四边形为菱形，．
①直接写出与之间的数量关系；
②若，求四边形的面积．