1 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形
中，点
、
分别是
、
上的两点，连接
，
，
，则
的值为___________．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形中，
，
，点是边上一点，连接
，
，且
，求
的值．
【拓展延伸】
(3)如图③，在
中，
，点
在
边上，连结，过点
作
于点，的延长线交边于点．若
，
，
，则
___________．
【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形
中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________．【类比探究】
(2)如图②，在矩形
中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】
(3)如图③，在
中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________．
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2 . 【探究问题】（1）阅读并补全解题过程
如图①，在四边形
中，
，点E是边
的中点，
．
求证：
平分
．
张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长交射线
于点F，请你依据该同学的做法补全证明过程．
证明：延长交射线于点F．
【应用】（2）如图②在长方形中，将
沿直线
折叠，若点B恰好落在边
的中点E处，直接写出
的度数．
【拓展】（3）如图③在正方形中，E为边
的中点，将
沿直线
折叠，点A落在正方形内部的点F处，延长
交于点G，延长
交于点H，若正方形的边长为4，直接写出
的值．
如图①，在四边形
中，，点E是边的中点，．求证：
平分．张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长
交射线于点F，请你依据该同学的做法补全证明过程．证明：延长
交射线于点F．【应用】（2）如图②在长方形
中，将沿直线折叠，若点B恰好落在边的中点E处，直接写出的度数．【拓展】（3）如图③在正方形
中，E为边的中点，将沿直线折叠，点A落在正方形内部的点F处，延长交于点G，延长交于点H，若正方形的边长为4，直接写出的值．
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2023-01-30更新
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212次组卷
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2卷引用：吉林省长春市南关区第一O三中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
3 . 【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如图①，点P是等边
内的一点，连接
、
、
．当
，
，
时，求
的度数．
【解决问题】小明在解决此题时，将点P绕点B逆时针方向旋转
得到点D，连接
、
、
，并结合已知条件证得
．
请利用小明的作法及结论求的度数．
【方法应用】如图②，点P是正方形内一点，连接、、．若
，
，
，则
______°．
内的一点，连接、、．当，，时，求的度数．【解决问题】小明在解决此题时，将点P绕点B逆时针方向旋转
得到点D，连接、、，并结合已知条件证得．请利用小明的作法及结论求
的度数．【方法应用】如图②，点P是正方形
内一点，连接、、．若，，，则______°．
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名校
4 . 已知，如图，正方形中，
是边
上一点，
，
，垂足分别是点、．
(1)求证：
．
(2)连接，若
，
，求的长．
中，是边上一点，，，垂足分别是点、．(1)求证：
．(2)连接
，若，，求的长．
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2023-01-08更新
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182次组卷
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2卷引用：吉林省松原市宁江区宁江区第一中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
5 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
如图，在中，点
分别是与
的中点，可以猜想：
且
．请写出证明过程．
【结论应用】
（1）如图1，四边形中，
，
分别是
的中点．若
，
，求
的度数．
（2）如图2，在外分别作正方形
和
，是的中点，
分别是正方形的中心，
，则
的面积最大值为 ．
如图，在
中，点分别是与的中点，可以猜想：且．请写出证明过程．【结论应用】
（1）如图1，四边形
中，，分别是的中点．若，，求的度数．（2）如图2，在
外分别作正方形和，是的中点，分别是正方形的中心，，则的面积最大值为 ．
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21-22八年级下·四川·期中
解题方法
6 . 已知，如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且
，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．，为了证明结论“
”，小亮将
绕点
顺时针旋转
后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当
绕点旋转到图2位置时，试探究与
、之间有怎样的数量关系？
是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
，为了证明结论“ ”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；(2)如图2，当
绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？
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2022-11-11更新
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623次组卷
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10卷引用：吉林省松原市前郭县乌兰塔拉中学等五校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
吉林省松原市前郭县乌兰塔拉中学等五校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）四川省成都市金牛区金牛中学等五校联考2021-2022学年八年级下学期期中数学试题广东省惠州市小金茂峰学校2022-2023学年九年级上学期数学期中考试卷山东省德州市陵城区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题陕西省宝鸡市凤翔县2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题（已下线）专题3.2 旋转中的重要模型 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）（已下线）专题12.29 通过作辅助线证明三角形全等方法与技巧（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）（已下线）专题1.29 通过作辅助线证明三角形全等方法与技巧（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）广东省河源广赋创新学校2021-2022学年八年级下学期期中模拟数学试题（已下线）专题4.20 三角形全等几何模型（半角模型）（培优练）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
名校
7 . 【推理】如图①，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，
，延长交于点
．求证：
．
【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点
．若点是的中点，则线段
______．
【拓展】如图③，在【推理】条件下，，交于点
，取
的中点
，连接
，则的最小值是______．
中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，，延长交于点．求证：．【运用】如图②，在【推理】条件下，延长
交于点．若点是的中点，则线段______．【拓展】如图③，在【推理】条件下，
，交于点，取的中点，连接，则的最小值是______．
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8 . 如图，在
中，
，
，
．以的三边为边向同侧分别作正方形
、正方形
和正方形
，点M在边上，
交于点P，交于点Q．
；
(2)求四边形
的面积．
中，，，．以的三边为边向同侧分别作正方形、正方形和正方形，点M在边上，交于点P，交于点Q．
；(2)求四边形
的面积．
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9 . 如图，中，
，
，点从点出发，以每秒
个单位长度的速度沿向终点运动，到达点停止，过点作
延长线的垂线，垂足为
以
为边构造正方形
，点在线段
上，设点的运动时间为
（秒）．
(1)的面积为______，点到直线的距离为______．
(2)当点落在上时，求的值．
(3)设正方形与重叠部分图形的面积为
，求与之间的关系式．
(4)当点不与点
重合时，连结
，设点关于直线的对称点为
，连结
，当线段与的一边平行时，直接写出的值．
中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，到达点停止，过点作延长线的垂线，垂足为以为边构造正方形，点在线段上，设点的运动时间为（秒）．(1)
的面积为______，点到直线的距离为______．(2)当点
落在上时，求的值．(3)设正方形
与重叠部分图形的面积为，求与之间的关系式．(4)当点
不与点重合时，连结，设点关于直线的对称点为，连结，当线段与的一边平行时，直接写出的值．
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10 . （1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG．
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，直接写出AE的长．
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，直接写出AE的长．
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2022-10-03更新
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220次组卷
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3卷引用：吉林省长春市朝阳区长春力旺实验初级中学2022-2023学年九年级上学期9月月考数学试题
