1 . 如图，在正方形中，点E在对角线上，连接，点F在的延长线上，且．

(1)求证：；
(2)用等式表示线段的数量关系并证明．

2 . 如图，点在正方形的边上．

(1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：

3 . 如图， 点P是正方形对角线上一动点， 点E在射线上，且，连接，为中点．

(1)如图1，当点P在线段上时，试猜想与的数量关系和位置关系．
(2)如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示、、之间的数量关系，并证明．

4 . 已知正方形的对角线交于，是上一点．

(1)如图，于点，交于点；
求证：；
若，求证：；
(2)如图，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连接，若，，求出的最小值．

5 . 如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：．

6 . 如图，在正方形中，对角线交于点O，点E，F分别在上，且．

(1)求证：；
(2)求证：．（提示：连）

7 . 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

8 . 已知，在正方形中，点，分别为上的两点，连接、，并延长交于点，连接，为上一点，连接、，.

(1)如图1，若为的中点，，且，求线段的长；
(2)如图2，若，过点作于点，求证：；
(3)如图3，若，为线段（包含端点、）上一动点，连接，过点作于点，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值．

9 . 在正方形中，是一条对角线，点P在射线上（与点C、D不重合），连接，平移，使点D移动到点C，得到，过点Q作于H，连接，．

(1)若点P在线段上，如图①．
①依题意补全图①；
②判断与的数量关系与位置关系并加以证明；
(2)若点P在线段的延长线上，且，正方形的边长为1，求的长度．

10 . 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)【概念理解】如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)【性质探究】如图1，在垂美四边形中，证明：．
(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．