1 . 如图，在正方形中，点在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点，连接，．

(1)求证：；
(2)若正方形的边长为，
①当，，三点共线时，设与交于点．求；
②取中点，连接，求长度的最大值．

3 . 如图，在正方形中，点E在上，，，将绕点A旋转一定角度后得到．

   
(1)求的长度；
(2)求证：．

4 . （1）如图1，在正方形中，点，分别在边， 上，若，则，，之间的数量关系为：　　；
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系．
   

5 . （1）问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段与的数量关系为_____________；
       
（2）拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理．
   
（3）解决问题：当矩形的边时，点为直线上异于的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．

7 . 如图，四边形是正方形，点在边上，是以为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点．连接，请完成下列问题：
   
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若，则求的长．

8 . 如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点．
   
(1)当点为中点时，求证：；
(2)当时，求证：．

9 . 如图，正方形中，是对角线上的一个动点（不与重合），连结，将绕点顺时针旋转到，连结交于点延长线与边交于点．

(1)连结，求证：；
(2)若正方形的边长为4，且，求线段的长；
(3)求证：．

10 . 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

(1)如图2，将正方形绕点A按逆时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系；
(2)如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点A按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系；
(3)在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案）