1 . 如图， 已知正方形， 点E 是边上一点， 过点B 作 交的延长线于点M， 连接， 过点A 作 交于点N． 求证：．

   

2 . （1）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图，在中，，为的中点，连接，过点作于点，交于点，若，，求的长．

3 . 小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，在中，，，点D，E分别在边上（不同时在点A），连接．

(1)问题解决：如图1，当点D，E分别与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是_________，数量关系是________．
(2)问题探究：如图2，当点D，E不与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是怎样的？请说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，当点E不与点C重合，且D为的中点时，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，点G是点C关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值．

4 . 【基础回顾】（1）如图1，是正方形中边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为      ；

【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点，在上取点，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明；
【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点在上，求，，之间存在的数量关系．

5 . 如图，在正方形中，E，F分别为边与上一点，连接，，交点为G，且，连接，若，则的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

6 . 【问题解决】（1）如图①，正方形的对角线相交于点O，过点O作，分别交，边于点E，F．在实验与探究中，小红发现通过证明，可得．请帮助小红完成证明过程；
【类比探究】（2）如图②，在矩形中，O为对角线上任意一点，过点O作，交边于点F，当时，求证：；
【拓展提升】（3）如图③，在平行四边形中，O为对角线上任意一点，过点O作．交边于点F，求证：．

8 . 如图，在正方形中，，E、F分别是上的点，且，分别交于点M，N，连接．

(1)如图①，试探究和的数量关系和位置关系；
(2)如图②，若点G是的中点，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的面积．

9 . 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图①，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长（用，表示），
（2）操作：如何画出这个正方形呢？
如图②，小波画出了图①的，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在上任取一点，画正方形，使点，在边上，点在内，然后连接，并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形；
（3）推理：证明图②中的四边形是正方形；
（4）拓展：小波把图②中的线段称为“波利亚线”，在该线上截取，连接，（如图③），当时，求“波利亚线”的长（用，表示）．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

10 . 如图，在边长为6的正方形中，E是边上一点，连接，在上取一点F，使，过点F作交于点G，若，时，则________．