1 . 如图①，如图，在正方形中，点为边上一点，连接，点为的中点，过点作于点，连接，．
观察猜想：
（1）与的数量关系是_____________；
和的数量关系是_____________；
探究发现：
（2）将图①中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，此时点F还是的中点．线段绕点旋转得到线段，连接，，，如图②所示，探究和的数量关系，并说明理由．
   

2 . 教材中有这样一道题：如图①所示，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，，且交于点F．求证：．
小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答．
            
(1)若图①中的点G为延长线上一点，其余条件不变，如图②所示，猜想此时之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)将图①中的绕点A逆时针旋转，使得与重合，记此时点F的对应点为点，如图③所示，若正方形的边长为6，求的长度．

3 . 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 问题引入：
（1）如图1，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．则与之间的数量关系是______；
问题延伸：
（2）如图2，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、．
①判断与之间的数量关系，并说明理由；
②连接，若，，求的长．

5 . 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上.若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 综合与实践
活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图1，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于E，延长交于F．

【问题探究】
(1)如图2，当点H与点C重合时，与的大小关系是______；是______三角形．
(2)如图3，当点H为边上任意一点时（点H与点C不重合），连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）条件下，当，时，CF的长为______．

7 . 如图，把正方形绕点A，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点Ｈ．求证：．
   

8 . 如图①，正方形的边长为5，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．

(1)证明：；
(2)如图②，延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由．

9 . 如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（       ）

A．1

B．

C．2

D．

10 . 【问题探究】如图①，在正方形中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，求的长度．
此问题可以过点作于点，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证
．根据全等三角形的性质得出， 再由勾股定理可以求得             ；
【类比迁移】如图②，在矩形中，， ， 连接，过的中点作交于点，交于点， 求的长度．
【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为． 测得 米，米， ．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度．