1 . 综合与探究
【问题情境】
如图1，在中，，，点，分别在边，上，且．
【数学思考】
（1）在图1中，的值为________；
（2）图1中保持不动，将绕点按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展探究】
（3）在图2中延长，分别交，于点，，连接，得到图3，与之间的数量关系为________________；
（4）若将绕点按逆时针方向旋转到图4的位置，连接，，延长交的延长线于点，交于点，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与之间的数量关系．

2 . 问题提出如图（1），在中，，,连接，探究．
   
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，求的值．
（2）再探究一般情形．如图（1），当时，求的值；
问题拓展
如图（3），在中，，，P是内一点，，交于F，当的面积最大时，求的值．

4 . 综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则．
(1)请完善探究展示
(2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为     ．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由

5 . 问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且．数学思考：

(1)在图1中，的值为 　 ；
(2)图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；
(4)若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系．

6 . 问题背景：如图①在四边形中，探究线段、、之间的数量关系．
小杨同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处点、分别落在点、处（如图②），，易证点，、、在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论

简单应用：
（1）在图①中，直接利用小杨得出的结论，若，，则______．
（2）利用小杨同学探究图②问题提供的思路，解决③图中的问题．如图③，已知是的直径点、在上，求证：．
拓展延伸：
（3）如图④，，，是四边形的外接圆，若，，求的长（用含,的代数式表示）

7 . 【定义新知】
定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

【初步应用】
（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为________；
②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由．

9 . （1）问题背景
如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为弧BmC上一动点（不与B，C重合），若PA＝4，求四边形ABPC的面积．
小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB＝AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：

第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图②）；
第二步：证明Q，B，P三点共线，进而把求四边形ABPC的面积转化求为△PAQ的面积．
根据小明同学的思考过程可知：△PAQ的形状是　 　，四边形ABCP的面积为　 　．
（2）方法类比
如图3，P是等边三角形外一点，若∠APC＝30°，PA＝4，PC＝3，试求四边形PABC的面积．

（3）拓展延伸
如图④，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝BC，AB⊥BC，垂足为A，则OC的最小值为　 　．

10 . 定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在中，，，，是的平分线．

①证明是“类直角三角形”；
②试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“类直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（包括端点，），延长至点，连结，且，当是“类直角三角形”时，求的长．