4 . 【认识定义】已知点、、分别在的边、、上（点不与点重合，点不与点重合，点不与点重合），点为内一点，若，则称点为的等角点．
【初步探究】
（1）如图1，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，点是等边的等角点，则的度数为                ；
（2）如图2，在中，，，点是内一点，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，若，且，试说明：点是的等角点；
【拓展研究】
（3）如图3，等边的边长为，点是的等角点，且的正切值为，求的长（结果用含和的式子表示）；
（4）如图4，在中，，，点是的等角点，且，当的长最短时，连接，求的面积．

7 . 【探究】如图①，是等边三角形，它内接于，点D是上任意一点（不与点B、C重合），连结、，求证：．
小明分析后发现，如图②，将绕点A顺时针旋转得到，再证明D、B、E三点共线，从而得到等边三角形，进而证得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：∵绕点A顺时针旋转得到，
∴．
∵，∴．
∴D、B、E三点共线．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图①，是等边三角形，它内接于，点D是上任意一点（不与点B、C重合），连结、．若，则四边形的面积为______．
【拓展】如图③，等腰直角三角形内接于，，点D在上且位于直线下方，若的半径为2，则四边形的周长的最大值为______．

8 . 大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题．

名称	花坛Ⅰ	花坛Ⅱ	花坛Ⅲ	花坛Ⅳ
图形
条件	， ，．	，， ，．	， ．	，， ，， 为正数．

说明：图中点都在圆上，在上，，垂足为．
(1)问题解决：
①花坛Ⅰ的半径为       米；（直接写出答案）
②计算花坛Ⅱ的半径；
③计算花坛Ⅲ的半径；
④请用含的代数式表示花坛的半径．
(2)问题拓展：
兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，则面积最小值为        米．

10 . 【给出问题】：已知：是正方形 的外接圆，点在上除、外），试求的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在中作出内接正方形．（保留痕迹，不写作法）
②原题中______________；
【深入思考】：（2）【问题】如图，若四边形是的内接正方形，点为弧上一动点，连接、、、，请探究、、三者之间或者、、三者之间有何数量关系，并给予证明．
   
（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点为弧上一动点，请探究、、三者之间有何数量关系：_____________________________________．(不写证明过程）．
   
（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积．