1 . 【感知】如图①， 内接于半径为R的， 点A 是上动点， 且点A、D位于两侧，则弦的最大值为______；（用含R的代数式表示）
【探究】如图②， 内接于， 点A是上动点， 且点A、D位于两侧．若的半径为6，，求点A 到距离的最大值．下面是小明的部分求解过程：
解： 连结， 过点A作 于点H．
过点O作于点并反向延长，交 于点 ，连结．
证明过程缺失
∴点A到距离的最大值为9．
请你补全解答过程．
【拓展】如图③，现计划建一个四边形空地，按规划要求：，，，，调整点D的位置，使四边形的面积最大，则这个最大面积为______．

2 . 【认识定义】已知点、、分别在的边、、上（点不与点重合，点不与点重合，点不与点重合），点为内一点，若，则称点为的等角点．
【初步探究】
（1）如图1，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，点是等边的等角点，则的度数为                ；
（2）如图2，在中，，，点是内一点，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，若，且，试说明：点是的等角点；
【拓展研究】
（3）如图3，等边的边长为，点是的等角点，且的正切值为，求的长（结果用含和的式子表示）；
（4）如图4，在中，，，点是的等角点，且，当的长最短时，连接，求的面积．

3 . 等腰绕点C顺时针旋转，旋转角度为β，得到等腰．线段与直线交于点M，连．
   
(1)如图1，点B的对应点E恰好落在线段上．
猜想：与的数量关系为                    ，线段与的位置关系为                    ；
(2)探究：当时，线段的长度的最大值和最小值分别是多少？
(3)拓展：当旋转到如图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立；若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．

4 . （1）问题背景：在四边形中，，交延长线于点E．如图1，求证：；
（2）问题探究：如图1，若，，，求；
（3）延伸拓展：如图2，在四边形中，，°，，直接写出___________．

5 . 【探究】如图①，是等边三角形，它内接于，点D是上任意一点（不与点B、C重合），连结、，求证：．
小明分析后发现，如图②，将绕点A顺时针旋转得到，再证明D、B、E三点共线，从而得到等边三角形，进而证得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：∵绕点A顺时针旋转得到，
∴．
∵，∴．
∴D、B、E三点共线．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图①，是等边三角形，它内接于，点D是上任意一点（不与点B、C重合），连结、．若，则四边形的面积为______．
【拓展】如图③，等腰直角三角形内接于，，点D在上且位于直线下方，若的半径为2，则四边形的周长的最大值为______．

6 . 大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题．

名称	花坛Ⅰ	花坛Ⅱ	花坛Ⅲ	花坛Ⅳ
图形
条件	， ，．	，， ，．	， ．	，， ，， 为正数．

说明：图中点都在圆上，在上，，垂足为．
(1)问题解决：
①花坛Ⅰ的半径为       米；（直接写出答案）
②计算花坛Ⅱ的半径；
③计算花坛Ⅲ的半径；
④请用含的代数式表示花坛的半径．
(2)问题拓展：
兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，则面积最小值为        米．

7 . 小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在中，，当长度不变时．则点C在以为直径的圆上运动（不与A、B重合）．
【探索发现】
小明继续探究，在中，，长度不变．作与的角平分线交于点F，小明计算后发现的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征．
【拓展应用】
在【探索发现】的条件下，若，求出面积的最大值．
【灵活运用】
在等边中，，点D、点E分别在和边上，且，连接交于点F，试求出周长的最大值．

8 . 探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）

点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．

(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．

①求证：，，，四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

9 . 【问题探究】
已知：如图①所示，∠MPN的顶点为P，⊙O的圆心O从顶点P出发，沿着PN方向平移．

（1）如图②所示，当⊙O分别与射线PM，PN相交于A、B、C、D四个点，连接AC、BD，可以证得△PAC∽△　 　，从而可以得到：PA•PB＝PC•PD．
（2）如图③所示，当⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点．求证：PA²＝PC•PD．
【简单应用】
（3）如图④所示，（2）中条件不变，经过点P的另一条射线与⊙O相交于E、F两点．利用上述（1），（2）两问的结论，直接写出线段PA与PE、PF之间的数量关系　 　；当PA＝4，EF＝2，则PE＝　 　．
【拓展延伸】
（4）如图⑤所示，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大⊙O上的任意两点，经过A、B两点作线段，分别交小⊙O于C、E、D、F四个点．求证：AC•AE＝BD•BF．（友情提醒：可直接运用本题上面所得到的相关结论）

10 . 【感知】如图①，四边形内接于，连结、，，于点，求证：．小明发现，在上截取，连结，通过证明，可推得是等腰三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：在上截取，连结．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图②，等边内接于，，点在上（点不与点A、C重合），连结、，于点，若，则的周长是__________；
【拓展】如图③，四边形内接于，点为的中点，的延长线于点，连结．若，，，则的面积为__________．