1 . 综合与实践
【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，．
【操作发现】（1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由．
【深入探究】（2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚和小红两位同学的解题思路：
小刚：过点作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题：
小红：连接，再利用平行线性质与三角形内角和等于的知识相结合，就能解决问题．
请你帮助其中一位同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决．
【拓展运用】（3）受小刚和小红的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数．

2 . 如图1，在矩形中，，点是对角线上的一动点．

【初步探究】
（1）下表是某探究小组得出的正确结果：（部分数据被遮挡）

已知
			2

表中被遮挡的数据　　　，　　　，　　　；
【探究运用】
（2）当时，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图2，的外接圆交于点，交于点，交于点，若，当时，直接写出此时的长．

3 . 王老师带领同学们在探究几何问题变换时，与同学们一起探究下列问题，请你思考解决．如图1，在正方形中，点P是射线上的一个动点，连接．

   

【观察发现】
（1）与的大小关系是（        ）
A．大于                       B．小于                      C．相等                       D．不能确定
【探究迁移】
（2）如图2，作，交延长线于点E，判断的形状并给出证明；
【拓展应用】
（3），交直线于点E，点P在运动的过程中，当，时，直接写出的长．

4 . 定义：当（，为常数，）时，函数最大值与最小值之差恰好为，我们称函数是在上的“雅正函数”，“”的值叫做该“雅正函数”的“雅正值”．
【初步理解】
（1）试判断下列函数是在上的“雅正函数”为______．（填序号）
①；②；③．
【尝试应用】
（2）若一次函数（，为常数，）和反比例函数（为常数，）都是在上的“雅正函数”，求的值．
【拓展延伸】
（3）若二次函数是在（，为常数，）上的“雅正函数”，雅正值是3．
①求、的值；
②若该二次函数图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为二次函数图象上一点，且点的横坐标为，点、点是线段上的两个动点（点在点的左侧），分别过点、点作轴的平行线交抛物线于点、点，如果，其中为常数．试探究：是否存在常数，使得为定值．如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．参考公式：

5 . 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．

（1）四边形是菱形，
，，．
．
又，，
______+______．
化简整理得______．
【类比探究】
（2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．

【拓展应用】
（3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度．

6 . 综合与实践
在四边形中，将边绕点顺时针旋转至（），的角平分线所在直线与直线相交于点，与边或边交于点．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形是正方形，旋转角，则_____．
【类比迁移】
（2）如图2，若四边形是正方形且，试探究在旋转的过程中的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，若四边形是菱形，，，在旋转的过程中，当线段与线段存在倍的关系时，请直接写出的长．

7 . 在综合与实践课上，同学们以“一副三角板和两条平行线”为背景开展数学探究活动”．如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，．

操作发现：
（1）如图2，创新小组的同学让和分别落在直线上，且使直角顶点C，D重合，则的度数为        （提示：过点C作的平行线）；

迁移运用：
（2）该小组同学将三角板和三角板按如图3所示位置摆放（直角顶点C，D重合），与交于点H，与交于点G，若， ，求的度数（用含，的式子表示）；
拓展创新：
（3）缜密小组的同学改变图2中三角板的位置，三角板的位置保持不变（直角顶点C始终与D重合），当边时，请直接写出的度数．

8 . 【问题提出】
如图1，在中，，，为内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长到点，使，连接，，．求证：，．

【思路探究】
“神州小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系；
“智慧小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系．
（1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在中，，，为上一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，为中点，连接并延长交的延长线于点，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【能力提升】
（3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若为平面内一点，，，，其他条件不变，求的长．

9 . 某兴趣小组开展综合实践探究活动：
已知为等边三角形，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接．探究过程如下：

   

【初步感知】
（1）①如图1，当点为中点时，　　　　；
②如图2，当时，　　　　；
（小智积极思考，提供如下解题思路：
延长至点，使得，连接，．
，，，．
．
又，
．
又，是等边三角形．……）
【类比探究】
（2）如图3，当时，求的值；
【拓展延伸】
（3）①当时，直接写出的值（用含的式子表示）；
②当点在延长线上，点在延长线上时，且，直线，相交于点，连接，请直接写出的值（用含的式子表示）．

10 . 【探究发现】
（）如图，在正方形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．
求证：；
【类比迁移】
（）如图，在矩形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．求证：；
【拓展提高】
（）如图，在菱形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．若，求的长．