1 . 【初识模型】（1）如图1，、是的两条弦，，连接、．
求证：；
【模型应用】（2）如图2，在（1）的条件下，过作交于点，垂足为．若，，求的半径；
【拓展提升】（3）如图3，已知的半径为，弦与相交于点，若，，求的长．

3 . 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的，联系的，发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”主题下设计的问题，请你解答．

       

(1)定理证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，D为的中点．
求证：①______．
证明：如图2，延长至点E，使，连结．
∵D为的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
又∵②_____，
∴是矩形，
∴，
∴③_____．
（将上述求证过程中①②③空格补充完整）
(2)定理运用：如图3在菱形中，与相交于点O，于E，点是的中点．

   

①求证：点是四边形的外接圆圆心，并画出这个外接圆；
②若，，求菱形的周长．
(3)拓展提升
如图4，在中，，，是边上中线，将沿翻折，点A的对称点记为，当垂直于的一边时，请直接写出的长．

   

4 . 如图，是等边的外接圆．

【问题原型】如图，连结，延长交弦于点，交于点．连结、．求证：；
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下：
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形，
∴，，
∴，则为等边三角形，
同理可得：也为等边三角形，
∴．
【方法应用】如图2，若为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展提升】如图③，若的半径为，且为上一点，且，则四边形的面积的是______．

6 . 【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．

【拓展研究】如图2，已知内接，，点是的中点，过点作，垂足为点．求证：＋．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．

10 . “同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．

(1)【知识理解】如图1，圆的内接四边形中，，，
①________；________（填“”，“”，“”）
②将点绕点顺时针旋转得到点，则线段的数量关系为________．
(2)【知识应用】如图2，是圆的直径，，猜想的数量关系，并证明；
(3)【知识拓展】如图3，已知，分别是射线上的两个动点，以为边往外构造等边，点在内部，若，直接写出四边形面积的取值范围．