1 . 阅读材料：
已知：如图
，
、
、
、
是抛物线
上的四个点，其横坐标依次记为
、
、
、
，连接
，
，且
．
求证：
．
证明：设直线的解析式为
，直线的解析式为
，由
得
，则
；同理
，所以．
应用知识：
(1)由阅读材料可知：当时，有，所以
．那么线段，中点的连线和
轴的位置关系为______；
(2)如图
，已知抛物线
与
轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，过点作直线
的平行线交抛物线于另一点，交轴于点
．
①过点作
轴，交
于点
．求证：
；
②若
，求
的值．
已知：如图
，、、、是抛物线上的四个点，其横坐标依次记为、、、，连接，，且．求证：
．证明：设直线
的解析式为，直线的解析式为，由得，则；同理，所以．应用知识：
(1)由阅读材料可知：当
时，有，所以．那么线段，中点的连线和轴的位置关系为______；(2)如图
，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，过点作直线的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．①过点
作轴，交于点．求证：；②若
，求的值．
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2 . 如图，
交于点，
，
，
，当
______ 时，可与平行．
交于点，，，，当可与平行．
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3 . 如图，在
中，
为线段上一点，线段绕点逆时针旋转
能与线段
重合，点为
与
的交点．
(1)若
，求线段
的长
(2)若为的中点，猜想与
的数量关系，并证明你猜想的结论．
(3)设
，点
在线段上运动，点
在线段
上运动，运动过程中，当
的值最小时，请直接写出
的面积；
中，为线段上一点，线段绕点逆时针旋转能与线段重合，点为与的交点．(1)若
，求线段的长(2)若
为的中点，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论．(3)设
，点在线段上运动，点在线段上运动，运动过程中，当的值最小时，请直接写出的面积；
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4 . 如图，直线
经过点
，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且
，以为直径作
，连结．
(1)求出b的值及直线的函数表达式．
(2)在线段上取点
，连结
并延长交于点，连结交
于点，
①若
，求证：
．
②当
等于
中的某一个角时，求
的长．
(3)点P关于直线的对称点P′恰好落在
上时，请直接写出四边形
的面积为______．
经过点，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结．(1)求出b的值及直线
的函数表达式．(2)在线段
上取点，连结并延长交于点，连结交于点，①若
，求证：．②当
等于中的某一个角时，求的长．(3)点P关于直线
的对称点P′恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为______．
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23-24九年级上·浙江·期末
5 . 如图，直线
，则（ ）
，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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名校
6 . 在中，
，
，
，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，
的面积等于8cm2．
(2)请问P、Q两点在运动过程中，是否存在
，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t秒．(1)当t为何值时，
的面积等于8cm2．(2)请问P、Q两点在运动过程中，是否存在
，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
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7 . 如图，在中，
，边
延长线上一点满足
，边上一点满足
，
，若
，则长为________ ．
中，，边延长线上一点满足，边上一点满足，，若，则长为
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8 . 如图，是
的直径，点是上的一点，与的延长线交于点．已知：
．
(1)求证：是的切线；
(2)过点作
于点，若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点．已知：．(1)求证：
是的切线；(2)过点
作于点，若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
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名校
9 . 如图，在
中，
，动点P从点A出发，以
的速度沿方向向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作
于点D，
，过点D作
，
与
相交于点E．设点P的运动时间为t
．
(1)线段的长 
；（用含t的代数式表示）
(2)当点E落在边上时，求t的值；
(3)设
与重叠部分的面积为
．求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
中，，动点P从点A出发，以的速度沿方向向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作于点D，，过点D作，与相交于点E．设点P的运动时间为t．(1)线段
的长 ；（用含t的代数式表示）(2)当点E落在
边上时，求t的值；(3)设
与重叠部分的面积为．求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
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10 . 如图是某景区大门部分建筑，已知
，
，当
时，则的长是（ ）
，，当时，则的长是（ ）A． | B． | C． | D． |
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