1 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点(点在点的左边)，交轴于点．
   
(1)直接写出三点的坐标；
(2)若抛物线上有一点，求点的坐标．
(3)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线与抛物线交于另一点Q，连接，分别交轴于两点，若，探究之间的数量关系，并说明理由．

2 . 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”、如图，在与中，，且．所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为a，连接，则称为“关联比”．

下面是小颖探究“关联比”与a之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
(1)当与为“关联等腰三角形”，且时，
①在图1中，若点E落在上，则“关联比”____________；

②在图2中，探究与的关系，并求出“关联比”值．

(2)如图3，当与为“关联等腰三角形”，且时，“关联比”=______________；

[迁移运用]
(3)如图4，与为“关联等腰三角形”．若，，点P为边上一点，且，点E为上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．

4 . 如图，是的直径，点 在上， 平分；

(1)当半径时，求的长；
(2)探究三边之间的数量关系，并说明理由．

5 . 在四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G．

(1)如图1，若四边形是正方形，且，求证：；
(2)如图2，若四边形是矩形，且，求证：；
(3)如图3，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论．

6 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在中，是边的中线，延长至点D，连接，且．求证：．

(1)独立思考：请解答王老师提出的问题．
(2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，F是边的中点，连接，将绕点E顺时针旋转一定角度，交于点M，交于点N．在图中找出与相等的线段，并证明．”
(3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当射线EM经过点D时，若给出的边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，当射线经过点D时，，求的长．”

7 . 综合与实践
【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．（提示：取的中点H，连接．）
   
(1)请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出 　　≌　　，进而得到．
(2)【类比探究】
如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）；
(3)【综合应用】如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长．

8 . 含30°角的直角三角板中，．将其绕直角顶点C顺时针旋转角()，得到，边与边交于点D，过点 D作交边于点E，连接．

(1)如图1，当边经过点B时，求的度数；
(2)小明发现在三角板旋转的过程中，度数是定值，他在探究过程中需证明：．
①如图2是旋转过程的一个位置，试完成相似的证明
②然后直接写出三角板旋转的过程中度数的范围；
(3)设的面积为S，当 时，求的长，以点为圆心，为半径作，并判断此时直线与的位置关系．