1 . 如图，在矩形中，，，是的中点，以为圆心，在的下方作半径为3的半圆，交于点，．

（1）思考：连接，交半圆于点、，求的长；
（2）探究：将线段连带半圆绕点顺时针旋转，得到半圆，设其直径为，旋转角为（）；
①设到直线的距离为，当时，求的取值范围．
②若半圆与线段相切，或半圆与线段相切，设切点为，直接写出的长．（，，，结果保留）

2 . 综合与实践
问题：如何将物品搬过直角过道？
情境：如图1是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．

步骤	动作	目标
1	靠边	将如图1中矩形的一边靠在上
2	推移	矩形沿方向推移一定距离，使点在边上
3	旋转	如图2，将矩形绕点旋转
4	推移	将矩形沿方向继续推移

操作：
探究：
(1)如图2，已知，．小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明．
(2)如图3，物品转弯时被卡住（、分别在墙面与上），若，求的长．
(3)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值　　　　　．（结果保留根号）

3 . 如图1，已知开口向下的抛物线与轴交于两点，与轴交于点不小于．
（1）求点的坐标(用含的代数式表示)；
（2）求系数的取值范围；
请你根据自身能力从或(4)小题中任选-题作答．
（3）如图2，当时，为直线上方抛物线上一动点，过点作交的延长线于点试探究是否存在点，使得的某一个角等于的倍？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，当时，为直线上方抛物线上一动点，过点作交的延长线于点抛物线的对称轴与轴交于点连接试探究是否存在点使得与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 如图12，在中，.

（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的周长为，先化简，再求的值．

5 . 已知抛物线的对称轴与轴的交点横坐标是分式方程的解，若抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点坐标为，连接，若点是线段上的一个动点，求的最小值．
（3）连接过点作轴的垂线在第三象限中的抛物线上取点过点作直线的垂线交直线于点，过点作轴的平行线交于点，已知．
①求点的坐标；
②在抛物线上是否存在一点，使得成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

6 . （1）计算：.
（2）如图，在中，，，点D为EC边上一点，且，，求的周长.（结果保留根号）

7 . 如图1，点E在矩形ABCD的边AD上，AD＝6，tan∠ACD＝，连接CE，线段CE绕点C旋转90°，得到线段CF，以线段EF为直径作⊙O．
（1）请说明点C一定在⊙O上的理由；
（2）点M在⊙O上，如图2，MC为⊙O的直径，求证：点M到AD的距离等于线段DE的长；
（3）当△AEM面积取得最大值时，求⊙O半径的长；
（4）当⊙O与矩形ABCD的边相切时，计算扇形OCF的面积．

8 . （2017内蒙古赤峰市，第24题，12分）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则
S_△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S_△ABC=absin∠C
同理S_△ABC=bcsin∠A
S_△ABC=acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：
如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a²=b²+c²﹣2bccos∠A
b²=a²+c²﹣2accos∠B
c²=a²+b²﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S_△DEF和DE²．
解：S_△DEF=EF×DFsin∠F=      ；
DE²=EF²+DF²﹣2EF×DFcos∠F=      ．
（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，求证：S₁+S₂=S₃+S₄．

9 . 如图，、为反比例函数图像上的两点，、两点坐标分别为、，，连接并延长交轴于点.
（1）求的值．
（2）若为的中点，求的值．
（3）过点作的平行线交轴于，若为整数，求值.