1 . 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如，，求证：．   证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？
解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)已知，求的值．
(2)若，解关于的方程．
(3)若正数，满足，求的最小值．

2 . （1）已知，设，，比较与的大小；
（2）证明：已知，且，求证：.

4 . 已知有限集（，），如果中的元素满足，就称为“完美集”．
(1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
(2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2．

5 . 已知A是非空数集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集．
(1)判断集合，，是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”的真假，并说明理由；
(3)若非空集合A是封闭集合，且，求证：不是封闭集．

6 . 求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．

7 . 已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数．
(1)若，求集合和；
(2)若，求；
(3)①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系；
②猜想和的大小关系，并证明你的结论．

8 . 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．
(1)求的值，并证明：当时，；
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)若，求不等式的解集.

10 . 已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较的大小；
(3)证明命题：设，证明：.