1 . 设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件：
①，恰好都含有3个元素；
②，，为单元素集合；
③
则称集合S为“优选集”．
(1)判断集合，是否为“优选集”；
(2)证明：若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合；
(3)若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值．

2 . 已知函数，下面有四个结论：
①当时，在上单调递减；
②若函数恰有2个零点，则的取值范围是；
③若函数无最小值，则的取值范围是；
④若方程有三个实数根，其中，则不存在实数，使得．
其中所有正确结论的序号是___________．

3 . 设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.
若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.
(1)当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.

4 . 对任意给定的不小于3的正整数，元集合，均为正整数集的子集，若满足：
①，
②，
③，
则称，互为等矩集．
（1）若集合与互为等矩集，求，的值；
（2）证明：如果集合，互为等矩集，那么对于任意的，集合，也互为等矩集；
（3）对于任意给定的正整数，是否存在两个元正整数集，互为等矩集？请说明理由．

5 . 雨过天晴时，我们常能见到天空的彩虹，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．
Ⅰ．如图1，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经一次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线．当 ∥时，则称为光线为虹；
Ⅱ．如图2，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经两次内部反射形成反射光线，．再折射出球体外得到折射光线，当 ∥时则称为光线为霓．

图1                                          图2                                                    图3   

可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：
III．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角与反射角，则入射角等于反射角；
IV．从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角，即．
设球半径r=1．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为．圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．
（1）图3中，入射光线经入射点P进入球内得到折射光线，过P的圆切线为，过点P的半径所在直线为法线，设入射角，若球介质的折射率，求折射角大小；
（2）图1中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率=1.5．折射光线为虹，求；
（3）图2中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率，折射光线为霓，求．

6 . 设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数.
（1）直接判断集合和是否为的自邻集；
（2）比较和的大小，并说明理由；
（3）当时，求证：.

7 . 对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题：
①存在函数满足：，且有最小值；
②设，若，则；
③若，则为单调函数；
④设，则．
其中所有正确命题的序号为__________．