1 . 已知非空集合，如果存在(且)，使得，则称集合具有性质.
（1）分别判断下列集合是否具有性质并说明理由；
①；
②.
（2）设m是正整数且，集合，求证：A具有性质；
（3）求最小的正整数n，使得对于任意满足且的两个集合和，其中至少有一个集合具有性质.

2 . 设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合.
（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；
（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个.

3 . 设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是___________.

4 . 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记．下列命题中正确的是（       ）

A．已知，，且，则

B．已知，，则存在实数a，使得

C．已知，若，则对任意，都有

D．已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得

5 . 设集合，若X是的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集.
（1）当时，写出的所有奇子集；
（2）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（3）当时，求的所有奇子集的容量之和.

6 . 对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.
（1）若，，求，，；
（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值；
（3）若，，求的最小值.

7 . 对于集合.
.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质.
（1）已知集合，，写出，并求出此时的值；
（2）已知均有性质，且，求的最小值.

8 . 设集合S，T，SN^*，TN^*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x<y，则S；
下列命题正确的是（       ）

A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素

B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素

C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素

D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素

9 . 已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为．
（1）对于数列：，写出集合及；
（2）求证：不可能为18；
（3）求的最大值以及的最小值．

10 . 有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质.
（1），，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
（2）设集合，且()，若集合具有性质，求的最大值；
（3）设集合，其中数列为等比数列，()且公比为有理数，判断集合是否具有性质并说明理由.