1 . 向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题:
①若为“类集”,则集合也是“类集”;
②若,都是“类集”,则集合也是“类集”;
③若都是“类集”,则也是“类集”;
④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”.
其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)

2 . 定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是______.
（1）       （2）
（3）       （4）

4 . 对于集合,,,,定义.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足,则称集合具有性质.
(1)已知集合,,写出,的值；
(2)已知集合,其中,证明：有性质；
(3)已知集合,有性质,且求的最小值.

5 . 对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合. 已知集合，，则__________.

6 . 已知由自然数组成的元集合，非空集合,且对任意的，都有.
(1)当时，求所有满足条件的集合;
(2)当时，求所有满足条件的集合的元素总和;
(3)定义一个集合的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该集合的元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合的交替和是，集合的交替和为.当时，求所有满足条件的集合的“交替和”的总和.

7 . 设集合，若非空集合同时满足①，②（其中表示中元素的个数，表示集合中最小元素），称集合为的一个好子集，的所有好子集的个数为______.

8 . 用表示非空集合中元素的个数，定义若，且，设实数的所有可能取值构成集合，则_______.

9 . 设为正整数，集合（），对于集合中的任意元素和，记.
（1）当时，若，，求和的值；
（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素、，当、相同时，是奇数，当、不同时，是偶数，求集合中元素个数的最大值.

10 . 设有二元关系，已知曲线.
（1）若时，正方形的四个顶点均在曲线上，求正方形的面积；
（2）设曲线与轴的交点是，抛物线与轴的交点是，直线与曲线交于，直线与曲线交于，求证直线过定点，并求该定点的坐标；
（3）设曲线与轴的交点是，，可知动点在某确定的曲线上运动，曲线上与上述曲线在时共有4个交点，其坐标分别是、、、，集合的所有非空子集设为，将中的所有元素相加（若只有一个元素，则和是其自身）得到255个数，求所有正整数的值，使得是一个与变数及变数均无关的常数.