1 . 定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如的长度，设，，其中表示不超过的最大整数，．若用表示不等式解集区间的长度，则当时，________；

2 . 已知是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则．
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：“”是“”的充分条件；
（3）证明：若，则．

3 . 设且是E的真子集,且G具有下列两条性质:
(1)对任何恒有
(2)
试证:G中的奇数的个数是4的倍数,且G中的所有数字的平方和为一个定数

4 . 已知集合，，集合，且集合满足，.
（1）求实数的值；
（2）对集合，其中，定义由中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质.
①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
②试判断和的大小关系，并证明你的结论.

5 . 设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”
（1）当时，判断和是否为集合的“相关数”，说明理由；
（2）若为集合的“相关数”，证明：.

6 . 设集合、均为实数集的子集，记：；
（1）已知，，试用列举法表示；
（2）设，当，且时，曲线的焦距为，如果，，设中的所有元素之和为，对于满足，且的任意正整数、、，不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）若整数集合，则称为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合的某个非空有限子集中所有元素的和，则称为“的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是的基底集？请说明理由．

7 . 用表示集合中元素的个数，设为集合，称有序三元组，如果集合满足，且，则称有序三元组为最小相交，由集合的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数是_________

8 . 集合有个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则_____.

9 . 将含有个正整数的集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合､､，其中，若､､中的元素满足条件:，则称为“完并集合”.
（1）若为“完并集合”，求的值；
（2）对于“完并集合”，在所有符合条件的集合中，求元素乘积最小的集合.

10 . 设是由个有序实数构成的一个数组，记作，其中
称为数组的“元”，称为的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组
中不同下标的“元”，则称为的子数组，定义两个数组和
的关系数为；
（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求
的最大值；
（2）若，，且，为的含有三个“元”
的子数组，求的最大值；
（3）若数组中的“元”满足，设数组含有
四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”
的子数组的关系数的最大值；