解题方法
1 . 已知函数
与
的定义域均为
，若对任意的
都有
成立，则称函数是函数在上的“L函数”.
(1)若
，判断函数是否是函数在上的“
函数”，并说明理由；
(2)若
，函数是函数在上的“函数”，求实数
的取值范围；
(3)若
，函数是函数在上的“函数”，且
，求证：对任意的都有
.
与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.(1)若
，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；(2)若
，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；(3)若
，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有.
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2 . 已知函数
的定义域为
，且对任意的正实数
、
都有
，且
.
(1)求证：
；
(2)求
；
的定义域为，且对任意的正实数、都有，且.(1)求证：
；(2)求
；
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3 . 集合
由有限个实数组成，定义集合的离距
如下：实数轴上，集合中的每个实数对应一个点
，实数对应的点
与所有这些点的距离的算术平均数记为，称函数
的最小值为集合的离距，记为.例如，集合
的离距是0，集合
的离距是2.
(1)分别求出集合
的离距；
(2)求数集
的离距；
(3)已知非空数集
满足
，试写出一个关于
的大小关系的等式或不等式，并给出证明.
由有限个实数组成，定义集合的离距如下：实数轴上，集合中的每个实数对应一个点，实数对应的点与所有这些点的距离的算术平均数记为，称函数的最小值为集合的离距，记为.例如，集合的离距是0，集合的离距是2.(1)分别求出集合
的离距；(2)求数集
的离距；(3)已知非空数集
满足，试写出一个关于的大小关系的等式或不等式，并给出证明.
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4 . 设
，求证：
(1)
；
(2)
（
，且
）．
，求证：(1)
；(2)
（，且）．
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5 . 设
，
(1)求证：
，
(2)求
.
，(1)求证：
，(2)求
.
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解题方法
6 . 已知集合A为数集，定义
.若
，定义：
.
(1)已知集合
，直接写出
，
及
的值；
(2)已知集合
，
，
，求
，
的值；
(3)若
.求证：
.
.若，定义：.(1)已知集合
，直接写出，及的值；(2)已知集合
，，，求，的值；(3)若
.求证：.
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名校
解题方法
7 . 已知二次函数
的解为
.
(1)求
；
(2)证明：也是方程
的解，并求的解集.
的解为.(1)求
；(2)证明：
也是方程的解，并求的解集.
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2024-01-10更新
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316次组卷
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2卷引用：河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷
名校
8 . 设函数
，已知不等式
的解集为
．
(1)求不等式
的解集；
(2)若定义在区间D上的函数对于区间D上任意
都有不等式
成立，则称函数在区间D上为凸函数．请你根据凸函数的定义证明：在R上是凸函数．
，已知不等式的解集为．(1)求不等式
的解集；(2)若定义在区间D上的函数
对于区间D上任意都有不等式成立，则称函数在区间D上为凸函数．请你根据凸函数的定义证明：在R上是凸函数．
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2023-10-11更新
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286次组卷
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3卷引用：河南省郑州市第四高级中学2023-2024学年高一上学期第一次调考考试数学试题
名校
9 . 设集合为
元数集，若的2个非空子集
满足：
，则称为的一个二阶划分．记
中所有元素之和为
中所有元素之和为
．
(1)若，求的一个二阶划分，使得
；
(2)若
．求证：不存在的二阶划分满足
；
(3)若
为的一个二阶划分，满足：①若
，则
；②若
，则
．记
为符合条件的的个数，求的解析式．
为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．(1)若
，求的一个二阶划分，使得；(2)若
．求证：不存在的二阶划分满足；(3)若
为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．
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2023-07-17更新
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551次组卷
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5卷引用：北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题
北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型40题专项训练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）（已下线）第三章 函数的概念与性质-【优化数学】单元测试能力卷（人教A版2019）（已下线）专题03 函数的概念与性质3-2024年高一数学寒假作业单元合订本
10 . 已知函数f(x)＝
.
(1)求f(2)＋f
的值；
(2)求证：f(x)＋f
是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f 
＋…＋f(9)＋f 
＋f(10)＋f 
的值．
.(1)求f(2)＋f
的值；(2)求证：f(x)＋f
是定值；(3)求2f(1)＋f(2)＋f
＋f(3)＋f ＋…＋f(9)＋f ＋f(10)＋f 的值．
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