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解题方法
1 . 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形,如图1,在一个棱长为2r的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱,其相交的部分就是牟合方盖(如图2),我国南北朝时期数学家祖暅基于“势幂既同则积不容异”这一观点和对牟合方盖性质的研究,推导出了球体体积公式.设平行于水平面且与水平面距离为的平面为,则平面截牟合方盖所得截面的形状为______ (填“正方形”或“圆形”),设半径为r的球体体积为,图2所示牟合方盖体积为,则______ .
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2 . 我国南北朝的伟大科学教祖暅于5世纪提出了著名的祖暅原理,意思就是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个几截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图1,为了求半球的体积,可以构造一个底面半径和高都与半球的半径相等的圆柱,与半球放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一个新几何体,用任何一个平行底面的平面去截它们时,两个截面面积总相等.如图2,某个清代陶瓷容器的上、下底面为互相平行的圆面(上底面开口,下底面封闭),侧面为球面的一部分,上、下底面圆半径都为6cm,且它们的距离为24cm,则该容器的容积为______ (容器的厚度忽略不计).
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解题方法
3 . 风筝又称为“纸鸢”,由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期,相传墨翟以木头制成木鸟,研制三年而成,是人类最早的风筝起源.如图,是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF,D为AB的中点,四边形EFDC为矩形,且,,,当时,多面体ABCEF的体积为( )
A. | B. | C. | D. |
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解题方法
4 . 木楔在传统木工中运用广泛.如图,某木楔可视为一个五面体,其中四边形是边长为2的正方形,且均为等边三角形,,,则该木楔的体积为( )
A. | B. | C. | D. |
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名校
解题方法
5 . 九章算术中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图).现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法.显然,正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球.因此,用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”,截面均为正方形,该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆.结合祖暅原理,两个同高的立方体,如在等高处的截面积相等,则体积相等.若正方体的棱长为6,则“牟合方盖”的体积为( )
A.144 | B. | C.72 | D. |
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2023-07-27更新
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711次组卷
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5卷引用:北京市第九中学2023-2024学年中高二下学期开学考试数学试题
北京市第九中学2023-2024学年中高二下学期开学考试数学试题福建省福州市六校联考2022-2023学年高一下学期期末数学试题(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点2 祖暅原理及球体积辅助体综合训练【培优版】(已下线)核心考点8 立体几何中综合问题 B提升卷 (高一期末考试必考的10大核心考点) (已下线)专题07 立体几何初步(1)-期末考点大串讲(人教B版2019必修第四册)
6 . 刍甍(chú méng)是中国古代数学书中提到的一种几何体,《九章算术》中对其有记载:“下有袤有广,而上有袤无广.”可翻译为:“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.”如图,在刍甍中,四边形是边长为2的正方形,,到平面的距离为3,则该刍甍的体积可能是( )
A. | B.4 | C. | D.3 |
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2023-07-14更新
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320次组卷
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3卷引用:黄金卷08
7 . 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1,把一块长方体分成相同的两块,得到两个直三棱柱(堑堵).如图2,再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,得四棱锥和三棱锥各一个,以矩形为底,另有一棱与底面垂直的四棱锥,称为阳马,余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体,称为鳖臑.则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是( )
A. | B. | C. | D. |
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2023-07-10更新
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486次组卷
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3卷引用:北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题
北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题(已下线)专题05 空间几何体的结构特征、表面积及体积3种常考题型归类-《期末真题分类汇编》(北京专用)【北京专用】专题12立体几何与空间向量(第一部分)-高一下学期名校期末好题汇编
8 . 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为( )
A. | B. |
C. | D. |
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2023-06-19更新
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11475次组卷
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26卷引用:2023年北京高考数学真题
2023年北京高考数学真题(已下线)北京十年真题专题07立体几何与空间向量北京十年真题专题07立体几何与空间向量北京市第一零一中学2023-2024学年高三上学期数学统练五北京市东城区第五十五中学2024届高三上学期12月月考数学试题北京市东城区第一六六中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题北京市第八十中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷专题09立体几何与空间向量(第二部分)(已下线)五年北京专题06立体几何与空间向量(已下线)三年北京专题06立体几何与空间向量(已下线)第04讲 利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类(5)专题06空间向量与立体几何(成品)(已下线)2023年北京高考数学真题变式题6-10湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性检测数学试题(已下线)考点9 垂直的判定与性质 2024届高考数学考点总动员(已下线)技巧03 数学文化与数学阅读解题技巧(4大核心考点)(讲义)天津市第一中学滨海学校2024届高三第六次学业水平质量调查数学试卷(开学考)(已下线)专题7.2 空间中的位置关系【十大题型】(已下线)专题7.3 空间角与空间中的距离问题【九大题型】(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点6 二面角大小的计算(一)【基础版】(已下线)重难点11 立体几何常考经典小题全归类【九大题型】(已下线)【一题多变】图形辨析 立足特征(已下线)8.6.3平面与平面垂直【第三课】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路(已下线)专题14 立体几何选择题(理科)-1(已下线)专题13 立体几何选择题(文科)-1专题07立体几何与空间向量
名校
9 . 在古代数学中,把正四棱台叫做方亭,数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公式,为方亭的下底面边长,为上底面边长,为高.某地计划在一片平原地带挖一条笔直的沟渠,渠的横截面为等腰梯形,上底为米,下底为米,深米,长为米,并把挖出的土堆成一个方亭,设计方亭的下底面边长为米,高为米,则其侧面与下底面所成的二面角的正切值为________ .
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2023-05-27更新
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611次组卷
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8卷引用:北京理工大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题
北京理工大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题河南省商丘市、周口市部分学校2022-2023学年高一下学期阶段性测试(四)数学试题(已下线)高一下册数学期末考试综合础评估卷2-【超级课堂】(已下线)高一下册数学期末模拟卷(二)【超级课堂】(已下线)期末模拟卷(B卷·能力提升卷)-【单元测试】(已下线)高一下学期数学期末押题卷02-期末高分必刷题型(已下线)高一下学期数学期末押题卷-期末专项复习河南省周口市2022-2023学年高一下学期期中数学试题
名校
解题方法
10 . “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1,正方体的棱长为2,用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体,沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次,截得的公共部分即是一个牟合方盖(如图2).已知这个牟合方盖与正方体外接球的体积之比为,则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为( )
A. | B. |
C. | D. |
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2023-05-25更新
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689次组卷
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3卷引用:北京市2023届高三高考模拟预测考试数学试题