1 . 糖水中含有糖，若再添加糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明.

2 . 如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列．

(1)求这一系列正方形的面积所构成的数列，并证明它是一个等比数列；
(2)从原始的正方形开始，到第9次构成新正方形时，共有10个正方形，求这10个正方形面积的和；
(3)如果把这一过程无限制地延续下去，你能否预测一下，全部正方形面积相加“最终”会达到多少？

3 . 已知数列的首项．
(1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
(2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列．

4 . 证明：a，b，c三数成等差数列的充要条件是．

5 . 证明：非零实数，，成等比数列的充要条件是．

6 . 已知是各项均为正数的等比数列，公比为q，求证：是等比数列，并求该数列的公比．

7 . 已知等差数列的公差为d，求证：，其中．

8 . 设，为正实数，求证：．

10 . 设，，求证：.