名校
解题方法
1 . 选用恰当的证明方法；解决下列问题.
(1)
为实数，且
，证明：两个一元二次方程
，
中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
(2)已知：
，且
，求证：
(1)
为实数，且，证明：两个一元二次方程，中至少有一个方程有两个不相等的实数根.(2)已知：
，且，求证：
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2023-10-14更新
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98次组卷
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2卷引用：辽宁省大连市金州区金州高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题
名校
2 . 已知集合
(1)判断8，9，10是否属于集合
；
(2)已知集合
，证明：“
”的充分条件是“
”；但“”不是“”的必要条件：
(3)记集合
，
，求证：
.
(1)判断8，9，10是否属于集合
；(2)已知集合
，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件：(3)记集合
，，求证：.
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名校
解题方法
3 . 如图，已知
为二次函数
的图像上异于顶点的两个点，曲线
在点处的切线相交于点
.
(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：
成等差数列，
成等比数列；
(3)设抛物线焦点为
，过
作
垂直准线
，垂足为
，求证：
.
为二次函数的图像上异于顶点的两个点，曲线在点处的切线相交于点.(1)利用抛物线的定义证明：曲线
上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：
成等差数列，成等比数列；(3)设抛物线
焦点为，过作垂直准线，垂足为，求证：.
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名校
4 . 汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）.其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）.定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm，灯深25cm（如图1）.设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系（如图2）抛物线上点P到焦点距离为5cm，且在x轴上方.研究以下问题：
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
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名校
5 . 下列命题正确的有：________ .
①
；
②已知
，若
，则
.
③用反证法证明“已知，且
，求证：
.”时，应假设“
且
”；
④命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”.
①
；②已知
，若，则.③用反证法证明“已知
，且，求证：.”时，应假设“且”；④命题“若
，则”的逆否命题是“若，则”.
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名校
6 . （1）已知m是实数，集合
，
．求证：“
”是“
”的充要条件．
（2）设
．证明：若
是奇数，则n也是奇数．
，．求证：“”是“”的充要条件．（2）设
．证明：若是奇数，则n也是奇数．
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2020-10-27更新
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459次组卷
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8卷引用：上海奉贤区致远高级中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
上海奉贤区致远高级中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题上海市奉贤区致远高级中学2021-2022学年高一上学期10月评估数学试题（已下线）1.2 充分条件与必要条件(第2课时）上海市奉贤区致远高级中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高一上学期9月月考数学试题（已下线）1.4 充分条件与必要条件（5大题型）精练-【题型分类归纳】（已下线）专题04充分条件与必要条件-【倍速学习法】（人教A版2019必修第一册）（已下线）专题04常用逻辑用语-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）
名校
解题方法
7 . 已知函数
．
（1）若
满足
为R上奇函数且
为R上偶函数，求
的值；
（2）若函数
满足
对
恒成立，函数
，求证：函数
是周期函数，并写出的一个正周期；
（3）对于函数
，
，若
对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 
是其一个广义周期，若二次函数
的广义周期为（
不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的
，
，
成立的充要条件是
．
．（1）若
满足为R上奇函数且为R上偶函数，求的值；（2）若函数
满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；（3）对于函数
，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是．
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2020-08-25更新
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1051次组卷
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6卷引用：3.2函数的基本性质-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019必修第一册）
（已下线）3.2函数的基本性质-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019必修第一册）2019年上海市建平中学高三三模数学试题（已下线）专题2.3 函数的奇偶性与周期性（精讲）-2021年高考数学（理）一轮复习学与练（已下线）专题2.3 函数的奇偶性与周期性（精讲）-2021届高考数学（理）一轮复习讲练测上海市建平中学2019届高三下学期5月月考数学试题（已下线）专题03 函数的概念与性质(模拟练)-2
20-21高一上·全国·课后作业
8 . 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.（注意：从充分性、必要性两方面证明.）
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名校
9 . 已知抛物线
，过焦点F的直线l与抛物线交于S，T，且
.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足
，其中
为常数，且两点D，E均在C上，弦AB的中点为M.
①若点P坐标为
，抛物线过点A，B的切线的交点为N，证明：点N在直线MP上；
②若直线PM交抛物线于点Q，求证；
为定值（定值用表示）.
，过焦点F的直线l与抛物线交于S，T，且.（1）求抛物线C的方程；
（2）设点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足
，其中为常数，且两点D，E均在C上，弦AB的中点为M.①若点P坐标为
，抛物线过点A，B的切线的交点为N，证明：点N在直线MP上；②若直线PM交抛物线于点Q，求证；
为定值（定值用表示）.
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2020-01-31更新
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222次组卷
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4卷引用：【新东方】高中数学20210304-003
（已下线）【新东方】高中数学20210304-003重庆市沙坪坝区南开中学校2019-2020学年高二上学期期末数学试题（已下线）【新东方】高中数学20210323-002【高二上】重庆市南开中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
名校
10 . 给出集合
(1)若
求证:函数
(2)由(1)可知，
是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：
命题甲:集合M中的元素都是周期函数；命题乙:集合M中的元素都是奇函数，请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确,请举出反例；
(3)设
为常数,且
求
的充要条件并给出证明.
(1)若
求证:函数(2)由(1)可知，
是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲:集合M中的元素都是周期函数；命题乙:集合M中的元素都是奇函数，请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确,请举出反例；
(3)设
为常数,且求的充要条件并给出证明.
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