1 . 已知①设函数
的值域是
，对于中的每个
，若函数
在每一处都等于它对应的
，这样的函数
叫做函数的反函数，记作
，我们习惯记自变量为，因此可改成
即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且
．如
的反函数是
可改写成
即为的反函数，与互为反函数．②
是定义在
且取值于的一个函数，定义
，则称
是函数在上的
次迭代．例如
，则
．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和
，若函数
的反函数
存在，且有
，称与关于相似，记作
，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：
（i）若，则
（ii）若
为的一个不动点，即
，则
为的一个不动点．
(1)若函数
，求（写出结果即可）
(2)证明：若，则
．
(3)若函数
，求（桥函数可选取
），若
，试选取恰当桥函数，计算
．
的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：（i）若
，则（ii）若
为的一个不动点，即，则为的一个不动点．(1)若函数
，求（写出结果即可）(2)证明：若
，则．(3)若函数
，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算．
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名校
2 . 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对
视为一个向量，记作
．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，
的数量积记作
，定义为
；复向量
的模定义为
．
(1)设
，
，求复向量与
的模；
(2)已知对任意的实向量与，都有
，当且仅当与平行时取等号；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式
成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；
(3)当
时，称复向量与平行．设
，
，
，若复向量与平行，求复数z的值．
视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．(1)设
，，求复向量与的模；(2)已知对任意的实向量
与，都有，当且仅当与平行时取等号；①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式
成立，并写出此不等式的取等条件；②求证：对任意两个复向量
与，不等式仍然成立；(3)当
时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值．
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3 . 已知
：
为有穷数列.若对任意的
，都有
（规定
），则称具有性质
.设
.
(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，
：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合
；
(2)若具有性质，证明：
；
(3)给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
：为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设.(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合；(2)若
具有性质，证明：；(3)给定正整数
，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
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2023-11-02更新
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493次组卷
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2卷引用：北京一零一中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
4 . 对于向量
，若
三个实数互不相等，令向量
，其中
，
，
，（
）.
(1)当
时，直接写出向量
；
(2)证明：对于
，向量
中的三个实数
至多有一个为0；
(3)若
，证明：
，
.
，若三个实数互不相等，令向量，其中，，，（）.(1)当
时，直接写出向量；(2)证明：对于
，向量中的三个实数至多有一个为0；(3)若
，证明：，.
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5 . 容器中有
种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子.例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子，现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子.给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子；
②最后一颗粒子可能是B粒子；
③最后一颗粒子可能是C粒子；
其中正确结论的序号是______ .（写出所有正确结论的序号）
种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子.例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子，现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子.给出下列结论：①最后一颗粒子可能是A粒子；
②最后一颗粒子可能是B粒子；
③最后一颗粒子可能是C粒子；
其中正确结论的序号是
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2023-02-08更新
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767次组卷
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4卷引用：广东省三校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题
6 . 设
为正整数，若
满足：①
，
，2，…，；②对于
，均有
．则称具有性质
．对于和
，定义集合
．
（1）设
，若
具有性质
，写出一个
及相应的
；
（2）设
和具有性质
，那么是否可能为
，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足
的有偶数个．
为正整数，若满足：①，，2，…，；②对于，均有．则称具有性质．对于和，定义集合．（1）设
，若具有性质，写出一个及相应的；（2）设
和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；（3）设
和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个．
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7 . 已知数列
是无穷数列，满足
.
（1）若
，
，求
，
，
的值；
（2）求证：“数列中存在
使得
”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得
.
是无穷数列，满足.（1）若
，，求，，的值；（2）求证：“数列
中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；（3）求证：存在正整数k，使得
.
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2020-09-13更新
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1034次组卷
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3卷引用：2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七）数学试题
2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七）数学试题上海市复旦大学附属中学青浦分校2020届高三下学期开学摸底数学试题（已下线）专题15 数列不等式的证明 微点6 数列不等式的证明综合训练
名校
8 . “解方程
”有如下思路:设
，则
在
上为减函数，且
，故原方程有唯一解
.类比上述解题思路，不等式
的解集为___________ .
”有如下思路:设，则在上为减函数，且，故原方程有唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集为
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2020-04-16更新
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910次组卷
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3卷引用：河南省开封市兰考县等五县2018-2019学年高二下学期期中联考数学（理）试题
9 . 已知集合
，且
中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素
，使得
，则称集合是“关联的”，并称集合
是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合
和集合
是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有 的关联子集；
已知集合
是“关联的”，且任取集合
，总存在的关联子集
，使得
.若
，求证：
是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在
，使得
.
，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得.
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2020-02-09更新
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1564次组卷
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10卷引用：2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题（已下线）专题02 拿高分题目强化卷（第三篇）-备战2021年新高考数学分层强化训练（北京专版）北京市海淀区2021届高三模拟试题（一）（已下线）考点47 推理与证明-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点帮北京市清华大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高二5月月考数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题北京市朝阳区中国人民大学朝阳分校2021-2022学年高三上学期开学考数学试题北京市日坛中学2023-2024学年高二下学期第三次月考（6月）数学试卷
名校
10 . 已知集合
并且
．定义
（例如：
）．
（1）若
，
，集合A的子集N满足：
，且
，求出一个符合条件的N；
（2）已知集合
满足：
，
，其中
为给定的常数，求
的取值范围．
并且．定义（例如：）．（1）若
，，集合A的子集N满足：，且，求出一个符合条件的N；（2）已知集合
满足：，，其中为给定的常数，求的取值范围．
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