1 . 已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值及方程的另一个根．

2 . ⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．

3 . 已知复数(为虚数单位)，当为何值时，复数为：
（1）实数；
（2）纯虚数．

4 . 已知无穷数列，，满足：，，，．记（表示个实数，，中的最大值）．
（1）若，，，求，的可能值；
（2）若，，求满足的的所有值；
（3）设，，是非零整数，且，，互不相等，证明：存在正整数，使得数列，，中有且只有一个数列自第项起各项均为．

5 . 已知非零实数a、b、c两两不相等．证明：三个一元二次方程，，不可能都只有一个实根．

6 . 设为关于的方程的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求的值；
（2）在（1）的条件下，若，，求的取值范围.

7 . 设为关于的方程（）的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求、的值；
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.

8 . 定义：复数是（）转置复数，记为，显然，即与互为转置复数.
（1）共轭复数的一些运算性质如等，还有一些常用结论，如等，尝试发现两个有关转置复数的运算性质（如：）或其他结论；
（2）对任意的两个复数、，定义运算“”：，设（），求复平面上的点集所围成区域的面积.

9 . （1）实数，比较与的大小；
（2）证明：是无理数．

10 . 关于的方程的两根的模之和为2，求实数的值.