1 . 设
．
（1）若
，求证：
是完全平方数；
（2）证明：存在无穷多个正整数对
，使得．
．（1）若
，求证：是完全平方数；（2）证明：存在无穷多个正整数对
，使得．
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2011高三·陕西·竞赛
2 . 设
为直线
上的动点，过作抛物线
的切线，切点分别为
、
.
（1）证明：直线
过定点；
（2）求
面积
的最小值，以及取得最小值时点的坐标.
为直线上的动点，过作抛物线的切线，切点分别为、.（1）证明：直线
过定点；（2）求
面积的最小值，以及取得最小值时点的坐标.
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3 . 设
.证明：
.
.证明：.
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4 . 已知数列
的各项均为正数，其前n项和为
，且对任意
，均有
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，数列
的前n项和为
．证明：
．
的各项均为正数，其前n项和为，且对任意，均有．（1）求数列
的通项公式；（2）设
，数列的前n项和为．证明：．
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5 . 如图，AB、PA、PBC分别为⊙O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交⊙O于另一点G、交PA于点K.
证明：（1）K是PA的中点；（2）
..
证明：（1）K是PA的中点；（2）
..
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2018-12-11更新
|
205次组卷
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2卷引用：陕西省渭南市韩城市2019-2020学年高二上学期竞赛考试数学试题
6 . 记“∑”表示轮换对称和.设a、b、c为正实数，且满足abc=1.对任意整数n≥2，证明： 
.
.
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7 . 设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，且满足
. ①
（1）证明：为直角三角形；
（2）若
，求面积的最大值.
的内角、、的对边分别为、、，且满足. ①（1）证明：
为直角三角形；（2）若
，求面积的最大值.
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2009高三·陕西·竞赛
8 . 如图，设点
、
，
内切圆的圆心在直线
上移动．
（1）求点
的轨迹方程；
（2）若过点
作两条射线，分别交（1）中所求轨迹于点、
两点，且
，求证：直线
必过定点．
、，内切圆的圆心在直线上移动．（1）求点
的轨迹方程；（2）若过点
作两条射线，分别交（1）中所求轨迹于点、两点，且，求证：直线必过定点．
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9 . 已知函数
，数列、满足
，
，
，
，
．
（1）求
的取值范围，使得对任意的正整数
，都有
；
（2）若
，
，求证：
．
，数列、满足，，，，．（1）求
的取值范围，使得对任意的正整数，都有；（2）若
，，求证：．
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的直径，C是AB的中点，M是弦AC的中点，
，垂足为H.求证：
