解题方法
1 . 已知函数
，其中
为常数．
(1)判断
的奇偶性，并说明理由；
(2)若在
上存在
个不同的点
（
），满足
，求实数的取值范围．
，其中为常数．(1)判断
的奇偶性，并说明理由；(2)若在
上存在个不同的点（），满足，求实数的取值范围．
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2 . 对于区间
与函数
，定义区间Ⅰ的长度为
．已知二次函数
对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有
，求证：对于任何长度为2的区间J，均有
．
与函数，定义区间Ⅰ的长度为．已知二次函数对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有，求证：对于任何长度为2的区间J，均有．
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3 . 设函数
（
）．
（1）讨论的单调性；
（2）如果有两个极值点
和
，我们记过点
的直线斜率为
．问：是否存在，使得
？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
（）．（1）讨论
的单调性；（2）如果
有两个极值点和，我们记过点的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
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2019-01-28更新
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684次组卷
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2卷引用：2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛
4 . 已知正实数、
满足
，
．求
的取值范围．
、满足，．求的取值范围．
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5 . 椭圆
与双曲线
有公共焦点(±c,0)(c>0)，与的离心率之差不超过1，且有一条渐近线斜率不小于
与x轴正半轴分别交于点A、B，且两曲线在第一象限的交点为D．问：△ABD的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出
的方程；若没有，请说明理由．
与双曲线有公共焦点(±c,0)(c>0)，与的离心率之差不超过1，且有一条渐近线斜率不小于与x轴正半轴分别交于点A、B，且两曲线在第一象限的交点为D．问：△ABD的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出的方程；若没有，请说明理由．
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6 . 若函数
满足：对任意实数，方程
的解的个数为偶数（可以是0个，但不能是无数个），则称为“偶的函数”.证明：
（1）任何多项式均不是偶的函数；
（2）存在连续函数
是偶的函数.
满足：对任意实数，方程的解的个数为偶数（可以是0个，但不能是无数个），则称为“偶的函数”.证明：（1）任何多项式
均不是偶的函数；（2）存在连续函数
是偶的函数.
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7 . 设
均取正实数,且
.求三元函数
的最小值,并给出证明.
均取正实数,且.求三元函数的最小值,并给出证明.
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8 . 定义数列
：
，
，
.证明：对任意的非负整数，均有
.
：，，.证明：对任意的非负整数，均有.
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9 . 由单位正方形组成的无限格阵的每个单位正方形内都写有一个整数.若每个方格内的整数等于其上方和左方与其相邻的两个方格内的整数之和，且存在一行
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为
，下面一行为
，⋯⋯证明：对于每个正整数
，
上不能有个方格内的整数都是0.
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为，下面一行为，⋯⋯证明：对于每个正整数，上不能有个方格内的整数都是0.
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10 . 已知
为大于3的素数，
的标准分解式为
，证明：
.
为大于3的素数，的标准分解式为，证明：.
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