1 . 试证：对任何正整数
，存在唯一的正奇数对
，使得
，存在唯一的正奇数对，使得
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2 . 设
，其中，
是大于1的正整数，且
．
证明：对每一个确定的正整数
，数列
中至少包含一个整数的次方．
注：
表示不大于
的最大整数．
，其中，是大于1的正整数，且．证明：对每一个确定的正整数
，数列中至少包含一个整数的次方．注：
表示不大于的最大整数．
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3 . 给定公差大于0的有限正整数等差数列
，其中，
为质数．甲、乙两人轮流从个石子中取石子，规定：每次每人可取
个石子，取走的石子不再放回，甲先取，取到最后一个石子者为胜．试问：谁有必胜策略？
，其中，为质数．甲、乙两人轮流从个石子中取石子，规定：每次每人可取个石子，取走的石子不再放回，甲先取，取到最后一个石子者为胜．试问：谁有必胜策略？
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4 . 设正整数满足
．则在
中，共有多少个满足条件的？
满足．则在中，共有多少个满足条件的？
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5 . 若一个三角形的边长与面积都是整数，则称为“海伦三角形”；三边长互质的海伦三角形，称为“本原海伦三角形”；边长都不是3的倍数的本原海伦三角形，称为“奇异三角形”.
（1）求奇异三角形的最小边长的最小值；
（2）求证：等腰的奇异三角形有无数个；
（3）问：非等腰的奇异三角形有多少个？
（1）求奇异三角形的最小边长的最小值；
（2）求证：等腰的奇异三角形有无数个；
（3）问：非等腰的奇异三角形有多少个？
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6 . 将
棋盘的每个方格都随意染黑白两色之一，每次操作是将其中同行、同列、同对角线的连续五个方格改变成相反的颜色.试问：能否经过有限次操作，使得所有方格的颜色都变成与原先相反的颜色？
棋盘的每个方格都随意染黑白两色之一，每次操作是将其中同行、同列、同对角线的连续五个方格改变成相反的颜色.试问：能否经过有限次操作，使得所有方格的颜色都变成与原先相反的颜色？
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7 . 设存在个整数
，使得
，且
.求正整数的所有可能取值.
个整数，使得，且.求正整数的所有可能取值.
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8 . 求所有的正整数、
、
，使得
是整数．
、、，使得是整数．
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9 . 试求出所有的正整数组
，使得
.
，使得.
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10 . 求方程
的所有正整数解
.
的所有正整数解.
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