1 . 如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中，米．现将该三角形菜地分成三块，其中．

(1)若，求的长；
(2)求面积的最小值．

2 . 如图1，在中，，，点D，E分别在边AB，AC上，，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

3 . 为了美化城市空间，拓展市民公共活动场所，某市拟把一块直角三角形空地修建成一个“口袋公园”（指规模很小的城市户外空间）.建造时，须在公园内留出一块绿地（区域），在上，其余区域为休闲区.

(1)当图中三个区域的面积相等时，求绿地区域的周长；
(2)若，为使休闲区尽量大，设，问为何值时，绿地区域的面积最小？最小面积是多少？

4 . 北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计．如图，道路长为百米，现在的同一侧设计四边形，，在以为直径的半圆上设，（为圆心）．

(1)若在四边形内种植花卉，且，当为何值时，花卉种植面积最大？
(2)若为了景观错落有致，沿着，和设置景观花带，且，则当为何值时，景观花带总长最长？并求的最大值．

5 . 某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，只能测量出，测角仪测得角．

（1）求的长；
（2）因地理条件限制，不能变更，但点C可以调整．建筑商为利益最大化，要求在弧上设计一点C使得四边形面积最大，求四边形面积的最大值．