1 . 已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．直线AB与OM垂直

B．若点M的坐标为，则直线AB的方程为

C．若直线AB的方程为，则点M的坐标为

D．若直线AB的方程为，则

2 . 已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求以点为中点的弦所在直线的方程．
（3）过点的直线l与椭圆分别交于A，B两点，求的面积的最大值．

3 . 已设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于，两点，为线段的中点．下列结论正确的是（       ）．

A．直线与垂直

B．若点坐标为，则直线方程为

C．若直线方程为，则点坐标为

D．若直线方程为，则直线与椭圆相交

4 . 已知椭圆：的焦距为2，且具有下面的性质中的一个：①椭圆上的点到一个焦点的最远距离等于3；②椭圆上的点与两个焦点所成的角最大值为.
（1）请选择上面条件中一个求的方程；
（2）在（1）中所求的方程下，已知一条直线过点与椭圆相交于两点，且点恰为的中点，求的面积.

5 . 已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.

6 . 已知椭圆，右焦点为．过的直线交椭圆于点、两点，的中垂线交轴于点．
（1）若椭圆过点，且，求的值．
（2）对于任意给定的满足的椭圆，是否为定值，请说明理由．

7 . 已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为，椭圆的长轴长为
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，线段的中点为，P为椭圆的左焦点，求三角形PAB的面积.

8 . 已知点在椭圆C：上，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求的面积.

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.

10 . 已知椭圆，经过点且斜率为的直线与相交于两点，与轴相交于点.
（1）若，且恰为线段的中点，求证：线段的垂直平分线经过定点；
（2）若，设分别为 的左、右顶点，直线、相交于点.当点异于时，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.