1 . 对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”.
(1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）；
(2)若，且是“对称的”，求的值；
(3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：.

2 . 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．
(1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若，且集合具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．

3 . 对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数.

5 . 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（     ）

A．，是一个戴德金分割

B．M没有最大元素，N有一个最小元素

C．M有一个最大元素，N有一个最小元素

D．M没有最大元素，N也没有最小元素

6 . 已知数集具有性质P：对任意的k，，使得成立．
(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
(2)若，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A；
(3)求证：．

7 . 已知数集具有性质：对任意的，，，使得成立．
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)若，求中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合；
(3)求证：．

8 . 设整数集合，其中，且对于任意，若，则．
(1)请写出一个满足条件的集合A；
(2)证明：任意，．

9 . 对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是．
(1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素；
(2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过；
(3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是．

10 . 设集合，，，，，中至少有个元素，且，满足：①对于任意的，，若，则；②对于任意的，，若，则．下列命题不正确的是（       ）

A．若有个元素，则有个元素

B．若有个元素，则有个元素

C．若有个元素，则有个元素

D．若有个元素，则有个元素