1 . 集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和,定义和集,用符号表示和集内的元素个数.
(1)已知集合,,,若,求的值;
(2)记集合,,,为中所有元素之和,,求证:;
(3)若与都是由个整数构成的集合,且,证明:若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
(1)已知集合,,,若,求的值;
(2)记集合,,,为中所有元素之和,,求证:;
(3)若与都是由个整数构成的集合,且,证明:若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
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2 . 设,是非空集合,定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若,则称是到的一个关系.当时,则称与是相关的,记作.已知非空集合上的关系是的一个子集,若满足,有,则称是自反的:若,有,则,则称是对称的;若,有,,则,则称是传递的.且同时满足以上三种关系时,则称是集合中的一个等价关系,记作~.
(1)设,,,,求集合与;
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系,记中的子集为的等价类,求证:存在有限个元素,使得,且对任意,;
(3)已知数列是公差为1的等差数列,其中,,数列满足,其中,前项和为.若给出上的两个关系和,请求出关系,判断是否为上的等价关系.如果不是,请说明你的理由;如果是,请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
(1)设,,,,求集合与;
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系,记中的子集为的等价类,求证:存在有限个元素,使得,且对任意,;
(3)已知数列是公差为1的等差数列,其中,,数列满足,其中,前项和为.若给出上的两个关系和,请求出关系,判断是否为上的等价关系.如果不是,请说明你的理由;如果是,请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
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名校
解题方法
3 . 对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称具有性质.
(1)已知数集,请写出数集对应的向量集,并判断是否具有性质(不需要证明).
(2)若,且具有性质,求的值;
(3)若具有性质,且,为常数且,求证:.
(1)已知数集,请写出数集对应的向量集,并判断是否具有性质(不需要证明).
(2)若,且具有性质,求的值;
(3)若具有性质,且,为常数且,求证:.
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4 . 设自然数,由个不同正整数构成集合,若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合,记为集合元素的个数
(1)已知集合,集合,分别求解.
(2)对于集合,若取得最大值,则称该集合为“极异集合”
①求的最大值(无需证明).
②已知集合是极异集合,记求证:数列的前项和.
(1)已知集合,集合,分别求解.
(2)对于集合,若取得最大值,则称该集合为“极异集合”
①求的最大值(无需证明).
②已知集合是极异集合,记求证:数列的前项和.
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5 . 对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称X具有性质P.
(1)设,请写出向量集Y并判断X是否具有性质P(不需要证明).
(2)若,且集合具有性质P,求x的值;
(3)若X具有性质P,且,q为常数且,求证:.
(1)设,请写出向量集Y并判断X是否具有性质P(不需要证明).
(2)若,且集合具有性质P,求x的值;
(3)若X具有性质P,且,q为常数且,求证:.
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2024-04-23更新
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305次组卷
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2卷引用:江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期第一次(3月)学情调研测试数学试题
名校
6 . 已知集合为非空数集,定义.
(1)若集合,请证明,并直接写出集合;
(2)若且,集合,求的最小值;
(3)若集合,且,求证:.
(1)若集合,请证明,并直接写出集合;
(2)若且,集合,求的最小值;
(3)若集合,且,求证:.
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名校
7 . 设A为非空集合,令,则的任意子集R都叫做从A到A的一个关系(Relation),简称A上的关系.例如时,{0,2},,,{(0,0),(2,1)}等都是A上的关系.设R为非空集合A上的关系.给出如下定义:
①(自反性)若,有,则称R在A上是自反的;
②(对称性)若,有,则称R在A上是对称的;
③(传递性)若,有,则称R在A上是传递的;
如果R同时满足这3条性质,则称R为A上的等价关系.
(1)已知,按要求填空:
①用列举法写出______________________;
②A上的关系有____________个(用数值做答);
③用列举法写出A上的所有等价关系:{(0,0),(1,1),(2,2)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,2),(2,0)},_______________,_______________,共5个.
(2)设和是某个非空集合A上的关系,证明:
①若,是自反的和对称的,则也是自反的和对称的;
②若,是传递的,则也是传递的.
(3)若给定的集合A有n个元素(),,,...,为A的非空子集,满足且两两交集为空集.求证:为A上的等价关系.
①(自反性)若,有,则称R在A上是自反的;
②(对称性)若,有,则称R在A上是对称的;
③(传递性)若,有,则称R在A上是传递的;
如果R同时满足这3条性质,则称R为A上的等价关系.
(1)已知,按要求填空:
①用列举法写出______________________;
②A上的关系有____________个(用数值做答);
③用列举法写出A上的所有等价关系:{(0,0),(1,1),(2,2)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,2),(2,0)},_______________,_______________,共5个.
(2)设和是某个非空集合A上的关系,证明:
①若,是自反的和对称的,则也是自反的和对称的;
②若,是传递的,则也是传递的.
(3)若给定的集合A有n个元素(),,,...,为A的非空子集,满足且两两交集为空集.求证:为A上的等价关系.
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8 . 设数集满足:①任意,有;②任意、,有或,则称数集具有性质.
(1)判断数集是否具有性质,并说明理由;
(2)若数集且具有性质.
(i)当时,求证:、、、是等差数列;
(ii)当、、、不是等差数列时,写出的最大值.(结论不需要证明)
(1)判断数集是否具有性质,并说明理由;
(2)若数集且具有性质.
(i)当时,求证:、、、是等差数列;
(ii)当、、、不是等差数列时,写出的最大值.(结论不需要证明)
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2021-09-26更新
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586次组卷
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7卷引用:北京市丰台区2021届高三二模数学试题
名校
9 . 定义:有限非空数集的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”,例如:集合,其“积数”.
(1)若有限数集,求证:集合的所有非空子集的“积数”之和满足;
(2)根据(1)的结论,对于有限非空数集(),记集合A的所有非空子集的“积数”之和,试写出的表达式,并利用“数学归纳法”给予证明;
(3)若有限集,
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数;
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
(1)若有限数集,求证:集合的所有非空子集的“积数”之和满足;
(2)根据(1)的结论,对于有限非空数集(),记集合A的所有非空子集的“积数”之和,试写出的表达式,并利用“数学归纳法”给予证明;
(3)若有限集,
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数;
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
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10 . 已知无穷集合A,B,且,,记,定义:满足时,则称集合A,B互为“完美加法补集”.
(Ⅰ)已知集合,.判断2019和2020是否属于集合,并说明理由;
(Ⅱ)设集合,.
(ⅰ)求证:集合A,B互为“完美加法补集”;
(ⅱ)记和分别表示集合A,B中不大于n()的元素个数,写出满足的元素n的集合.(只需写出结果,不需要证明)
(Ⅰ)已知集合,.判断2019和2020是否属于集合,并说明理由;
(Ⅱ)设集合,.
(ⅰ)求证:集合A,B互为“完美加法补集”;
(ⅱ)记和分别表示集合A,B中不大于n()的元素个数,写出满足的元素n的集合.(只需写出结果,不需要证明)
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2020-06-23更新
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688次组卷
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4卷引用:北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题
北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题(已下线)卷04-【赢在高考·黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷(北京专用)北京市一七一中学2020-2021学年高二6月月考数学试题北京市八一学校2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题