1 . 若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A是“好集”，求证：若x、，则；
(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有.

2 . 设数集满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.
（1）判断数集是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集且具有性质.
（i）当时，求证：、、、是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）

3 . 已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；
（Ⅱ）设集合，.
（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记和分别表示集合A，B中不大于n（）的元素个数，写出满足的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）

4 . 已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)具有性质，当时，求集合；
(3)①求证：；②求证：.

5 . 给定的正整数，若集合满足，则称A为集合M的n元“好集”．
(1)写出一个实数集的2元“好集”；
(2)证明：不存在自然数集N的2元“好集”．

7 . 已知集合为非空数集，定义：，.
（1）若集合，直接写出集合、；
（2）若集合，，且，求证：；
（3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.

8 . 已知集合M是非空数集，且满足三个条件：①∀x∈M，∀y∈M，恒有x﹣y∈M；②∀x∈M（x≠0），恒有；③1∈M．
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）求证：∀x∈M，∀y∈M，恒有x+y∈M．
（3）求证：当x≠0且x≠﹣1时，x∈M”是“∈M”的充分条件．

9 . 设集合，在集合M中定义一种运算，使得.
（1）若，，试判断是否为集合M中的元素，并说明理由；
（2）证明：.

10 . 对正整数，记，.
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合中元素的个数；
（3）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14.