1 . 对于项数为
的数列
，若数列
满足
，
，其中，
表示数集
中最大的数，则称数列是的
数列.
(1)若各项均为正整数的数列的数列是
，写出所有的数列；
(2)证明：若数列中存在
使得
，则存在
使得
成立；
(3)数列是的数列，数列
是
的数列，定义
其中
．求证：
为单调递增数列的充要条件是
为单调递增数列．
的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.(1)若各项均为正整数的数列
的数列是，写出所有的数列；(2)证明：若数列
中存在使得，则存在使得成立；(3)数列
是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．
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2 . 若数列
满足：存在等比数列
，使得集合
元素个数不大于
，则称数列具有
性质.如数列
，存在等比数列
，使得集合
，则数列具有
性质.若数列
满足
，
，记数列的前
项和为
.证明：
(1)数列
为等比数列；
(2)数列
具有性质.
满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明：(1)数列
为等比数列；(2)数列
具有性质.
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2024-01-13更新
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830次组卷
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4卷引用：湖北省武汉市江岸区2024届高三上学期1月调考数学试题
湖北省武汉市江岸区2024届高三上学期1月调考数学试题（已下线）压轴题数列新定义题(九省联考第19题模式）练河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题（已下线）模型1 用综合法快解新情境背景下的数列创新题模型（高中数学模型大归纳）
3 . 若数列
满足
，则称数列为“平方递推数列".已知数列中，
，点
在函数
的图象上，其中n为正整数，
(1)证明:数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列;
(2)设
，
，
求数列
的前10项和
.
满足，则称数列为“平方递推数列".已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，(1)证明:数列
是“平方递推数列”，且数列为等比数列;(2)设
，，求数列的前10项和.
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2023-07-24更新
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888次组卷
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7卷引用：广东省珠海市第一中学2024届高三上学期大湾区期末预测数学试题（一）
解题方法
4 . 若数列满足
（
，
是不等于
的常数）对任意
恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，
，
．
(1)求证：是周期为
的“类周期等差数列”，并求
的值；
(2)若数列
满足
，求的前项和
．
满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．(1)求证：
是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；(2)若数列
满足，求的前项和．
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5 . 给定数列，若满足
，对于任意的
，都有
，则称为“指数型数列”.
(1)已知数列的通项公式为
，证明：为“指数型数列”；
(2)若数列满足：
；
（I）判断
是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若
，求数列的前项和.
，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.(1)已知数列
的通项公式为，证明：为“指数型数列”；(2)若数列
满足：；（I）判断
是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(Ⅱ)若
，求数列的前项和.
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2022-01-29更新
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861次组卷
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3卷引用：山东省青岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题
6 . 已知数列
：
，
，…，
满足：①
；②
.记
.
（1）直接写出
的所有可能值；
（2）证明：
的充要条件是
；
（3）若，求
的所有可能值的和.
：，，…，满足：①；②.记.（1）直接写出
的所有可能值；（2）证明：
的充要条件是；（3）若
，求的所有可能值的和.
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2021-01-25更新
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569次组卷
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3卷引用：北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试试题
解题方法
7 . 若无穷数列
满足：只要
,必有
,则称具有性质.
（1）若具有性质,且
,求
；
（2）若无穷数列
是等差数列,无穷数列
是等比数列,
,
,
.判断是否具有性质,并说明理由；
（3）设是无穷数列,已知
.求证：“对任意
都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
满足：只要,必有,则称具有性质.（1）若
具有性质,且,求；（2）若无穷数列
是等差数列,无穷数列是等比数列,,,.判断是否具有性质,并说明理由；（3）设
是无穷数列,已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
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2020-01-28更新
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374次组卷
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3卷引用：2020届北京市顺义区高三上学期期末数学试题
名校
8 . 若实数数列
满足
，则称数列为“数列”．
（1）若数列是数列，且
，求，
的值；
（2）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
（3）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前
项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值．
满足，则称数列为“数列”．（1）若数列
是数列，且，求，的值；（2）求证：若数列
是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（3）若数列
为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值．
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2016-12-04更新
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861次组卷
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3卷引用：2016届北京市海淀区高三上学期期末考试理科数学试卷
